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体上矩阵是非交换代数中研究的一个基本方向，而矩阵的秩又是体上矩阵的一个重要数字特征.关于域上矩阵秩的不等式及等式的研究在文献中已经有了很好的结论，但是关于体上矩阵秩的理论则是矩阵理论新近讨论的一个重要问题，结论尚需要完善. 本文分别运用构造分块矩阵的方法和矩阵多项式的秩与多项式矩阵的秩互相转化的方法研究了体上矩阵秩的等式问题.另外还研究了两类特殊矩阵理论及秩的等式问题并得到了较好的结果.还通过研究分块矩阵的秩，并对子块为特殊矩阵的分块矩阵的秩进行了研究，最后文章对所做的成果做了总结并对体上矩阵理论的发展前景作了展望.本论文所得结果是对域上矩阵理论的推广，也有的是对前人做的体上矩阵结果的改进，这其中也有很多创新的结果.全文共分五章: 第一章介简单绍了体及四元数体的产生背景及思想来源，并给出了体上矩阵的一些基本定义，最后给出了本文所用到的数学符号. 第二章主要研究了体上矩阵秩的等式问题，主要首先通过构造分块矩阵和对矩阵进行广义初等变换的方法，将原本在域上成立的矩阵秩的等式，通过添加条件，从而得到了体上的相关的结论，然后通过初等变换的方法和矩阵多项式的秩和多项式矩阵的秩相互转化的方法，巧妙的对矩阵秩的等式进行了证明.最后通过实例再次证明结论，因此有效地推动了体上矩阵秩理论的发展，对于后面对体上矩阵的系统理论学习有很大的帮助. 第三章主要对体上的特殊矩阵——幂等矩阵和自伴随矩阵的性质及秩的等式问题进行了研究，主要研究了幂等矩阵秩的等式的问题，得到了一系列关于幂等矩阵秩的等式，推广了域上的关于幂等矩阵秩的等式，丰富了体上矩阵理论. 第四章研究了体上分块矩阵秩的问题，主要是分块矩阵的秩问题，首先给出分块矩阵秩的等式的一般表达形式，然后有对子块的特殊性进行研究，例如子块的可逆性、子块为幂等矩阵、子块与子块之间存在着某种关系等等进行了较为细致的研究，得到了较好结果，推广了域上分块矩阵秩的等式.取得了一定的成果，是对体上分块矩阵秩的理论的丰富. 第五章简单地介绍了文章所得结论和一些展望.