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同调、上同调理论和Hop玳数理论有着紧密联系。Hopf代数的上同调理论非常广泛，包括Sweedler上同调，Hochschild上同调，循环上同调，Lazy上同调等。Hopf代数的上同调理论有很多应用，如Sweedler上同调可以刻画Hopf代数、Hopf代数在代数上的作用以及扩张的分类；循环上同调可以处理非交换几何中的Hopf对称。在这篇毕业论文中，我们主要研究Hopf代数H弱余作用下的余代数C的Sweedler正则上同调；H 作用下的交换代数A的lazy上同调，以及交叉积和交叉余积的整体同调维数。
在本文的第一部分，我们推广了交换Hopf代数上的余交换余模余代数的Doi—Sweedler上同调理论。设C是余代数，H是交换的Hopf代数并且在C上有扭余作用ρ。我们证明了如果相应的余结合子α是卷积可逆的，那么ρ也是可逆。对这样的余代数C，我们定义正则上同调，并且证得任意可逆的扭余作用，可以提升到一个三次正则上同调类，并且这个上同类平凡的充分必要条件是扭余作用与交叉余积余扩张即cleft余扩张对应。
在第二部分，我们推广了Hopf代数H 上lazy元σ：H(×)H→k的概念，对于Hopf代数H和交换代数A，定义了lazy元σ：H(×)H→A我们还定义了Regl(H，A)上的算子(δ)。我们证明若γ∈Reg1L(H，A)，则(δ)(γ) ∈Reg2L(H，A)，算子(δ)诱导出Reg1L(H，A)到Reg2L(H，A)的一个群同态。设A是左H-模交换代数，γ∈Reg1(H，A)，那么上边缘(δ)(γ)是lazy元当且仅当ad(γ)是smash积A#H的一个代数自同构。类似左2-cocycles对应于H-cleft扩张的情形，我们定义lazyH-cleft对象，它和1azy 2-cocycles是相互对应的。
在最后部分，我们建立了交叉积A#σ日和代数A的整体同调维数，以及交叉余积C(×)αH和余代数C的整体同调维数之间的联系．我们将Liu[liu]在smash积上的结果推广到交叉积上．我们证明了如果H是有限维Hopf代数，满足H和H*是半单的，而且σ是卷积可逆的cocycle，那么gl．dim(A#σH)=gl．dim(A)．另外我们还讨论了当A被日余作用时，交叉积A#σH和代数A的整体维数之间的联系．而对于有限维余代数G，有限维半单Hopf代数日，和卷积可逆的cocycle α，我们给出了gl．dim(C(×)αH)和g1．dim(C)相等的一个充分条件。