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研究一类带有边值问题的偏微分方程广义解的多重性，是微分方程理论研究领域的核心，也是这一领域研究内容的重点课题之一。
本文通过选取一类独具特色的高阶椭圆型偏微分方程-双调和方程，主要利用变分方法、临界点原理等工具研究了双调和方程边值问题的可解性和解的多重性，并体现出近代偏微分方程理论发展的新成果。
本文安排如下：
1．引言部分主要介绍有关偏微分方程近代方法的发展背景，以及取得的一些成果，并交代本文的主要结论。
2．预备知识主要给出文章用到的主要定理及定义。
3．在第三部分主要研究一类带临界指数的双调和方程Δ<2>u+cΔu=f(x)u+u。利用Hardv不等式和山路引理可以得到存在两个正解的结果。
4．在第四部分考察四阶半线性椭圆方程Δ<2>u+α<2>u=bg(x．u)。主要应用三解定理得出在g(x，u)满足一定条件下方程至少存在三个非平凡解。