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本文研究的是不可压缩流体和多孔介质流耦合问题的mortar元算法.此类模型有多种应用:可用来分析干旱地区洪水的影响,描述血液在动脉血管中的流动规律,模拟河流、湖泊中污染物透过河床进入地下水的过程.该耦合问题由不同的偏微分方程构成,Navier-Stokes方程用来描述不可压缩流体的运动规律,而多孔介质流满足Darcy法则.交界面条件为:质量守恒定律、力的平衡性条件和Beavers-Joseph-Saffman法则.工作主要有以下三部分:第一、讨论非线性、稳态模型-Navier-Stokes方程与Darcy流耦合问题的mortar元算法.给出模型的数学表达式,建立了两种等价的弱形式,区别在于是否含有交界面上的一致项.在假设流体的粘性系数和右端项满足一定关系的条件下,借助于Galerkin方法和Brouwer不动点定理,我们对流速低的耦合问题证明了弱形式解的存在唯一性.采用三角形网格对区域进行剖分,在多孔介质区域使用最低阶Raviart-Thomas元,在自由流体区域采用Taylor-Hood元.选择Navier-Stokes区域在交界面上的部分作为mortar,并且按照mortar元方法,构建了离散流速解空间,给出了耦合问题的离散格式.我们分析了弱解和数值解间的误差,其关于流体区域的剖分尺寸是二阶收敛的,而关于多孔介质区域的剖分尺寸是线性收敛的.为了求解由耦合问题所导致的非线性代数系统,我们建立了一种迭代格式,并通过理论推导证明了迭代序列收敛到数值解.在数值计算中,取多孔介质区域剖分尺寸等于流体区域剖分尺寸的平方.对于一组构造出的真解,数值结果验证了理论分析.第二、研究线性、非稳态模型-Stokes方程与Darcy流耦合问题的mortar元算法.在此模型中,Stokes方程中含有流速关于时间变量的偏导数项,所有交界面条件要求在任意时刻成立.我们证明了变分问题解的存在唯一性.在离散时,采用Bernardi-Raugel元来求解Stokes方程,在多孔介质区域仍然使用最低阶Raviart-Thomas元,采用向后Euler方法来得到全离散格式.不同于大多数在时间层上加权平均的结果,我们在每个时间步上给出了误差估计的清晰表达式,其显示误差关于多孔介质的剖分尺寸是一阶收敛的,关于流体区域的剖分尺寸是线性收敛的,关于时间区间的剖分尺寸也是一阶收敛的.在数值验证的部分,取两个子区域的剖分尺寸相等且等于时间区间的剖分尺寸.为了看到mortar方法逼近解的情况,我们给出真解和数值解的图像.通过所给出的图像和表格,可以发现数值结果与理论分析一致.第三、分析非线性、非稳态模型-Navier-Stokes方程与Darcy流耦合问题的mor-tar元算法.在此问题中,Navier-Stokes方程和Darcy方程均带有流速关于时间的偏导数项.由于大部分问题、困难在前两部分工作中解决,所以这部分工作相对简略.利用Galerkin方法和非线性常微分方程组解的存在唯一性理论,证明了变分问题的正则性.选择与第二部分工作中相同的有限元离散,依然采用向后Euler方法来得到全离散格式.通过严格的理论分析,证明了弱解和数值解间的误差估计.证明的过程需要借助于算子,而该算子是由第一部分工作中稳态、非线性耦合问题的数值解所诱导的.以上三部分工作验证了使用mortar元方法结合不同的有限元来求解非线性、非稳态耦合问题是有效的.mortar元方法允许交界面上不匹配的网格,从而在子区域内可以按照特定的要求灵活地选择合适的有限元.所建立的mortar元格式既继承了不同有限元独立求解各自问题(Navier-Stokes、Darcy)的算法优势,又对交界面上的流量连续性有一个弱(积分意义)的表达.所得到的数值解在各自区域满足局部流量连续性,这一性质可避免人工质量项,从而在求解带传质方程的耦合问题的过程中具有优势.