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本文通过应用复变函数理论及自相似函数理论，研究Ⅰ型和Ⅲ型裂纹的动态扩展问题，旨在求得裂纹尖端的应力，裂纹的张开位移及动应力强度因子。然后，根据位移和位错分布函数之间的关系，获得位错分布函数的解析解，同时研究若干位错分布函数的变化规律，深入地探讨动态扩展裂纹的动力学问题。运用复变函数论和自相似函数的方法可以将所讨论的不同边界条件的问题转化为Riemann-Hilbert问题和Keldysh-Sedov混合边值问题，然后应用Muskhelishvili方法进行求解，均获得这一问题的解析解。在位错模型研究中，通过求导变换，运用复合函数求导公式，避开了繁琐的运算，突破了求解位错分布函数的方法。 本文所做的主要工作有： 1.讨论Ⅲ型裂纹的动态扩展问题。同时对裂纹面受均布载荷、坐标原点受集中增加载荷、裂纹面中心区受均布载荷、裂纹面上某点受运动阶跃载荷、坐标原点受运动增加载荷、坐标原点受瞬时冲击载荷、裂纹面受运动集中变载荷、坐标原点受点载荷、裂纹面受常数运动集中载荷、坐标原点受瞬时运动冲击载荷作用下的裂纹扩展问题分别进行研究。运用复变函数理论和自相似函数的方法对问题进行简化处理并求解，获得了裂纹尖端的应力，裂纹的张开位移，动应力强度因子及位错分布函数的解析解,同时描述了位错分布函数的变化规律。 2.讨论了异种材料的Ⅲ型界面裂纹的动态扩展问题。建立数学模型，对裂纹中心区受均布载荷、裂纹表面受均布载荷、裂纹表面受到运动集中变载荷、坐标原点受集中载荷作用下界面裂纹的扩展问题分别进行研究，运用复变函数论和自相似函数的方法可以将所讨论的问题简化处理并求解，获得裂纹尖端的应力，裂纹的张开位移，动应力强度因子及位错分布函数的解析解。同时讨论了界面裂纹解析解与单一材料解析解的相关性，即：当界面两侧的材料具有相同的材料常数时，就转化为单一材料中相应问题的解。这就验证了这一解的正确性。 3.讨论了Ⅰ型裂纹的动态扩展问题，建立数学模型，对裂纹面受到双重运动载荷作用，坐标原点受到增长力作用,裂纹表面受到均布载荷作用,坐标原点受阶跃载荷作用,坐标原点受瞬时冲击载荷I作用,坐标原点受集中载荷P作用,裂纹表面受到常数集中力作用下的问题分别进行研究。运用复变函数论和自相似函数的方法可以将所讨论的不同边界条件的问题转化为Riemann Hilbert问题和Keldysh-Sedov混合边界值问题。通过应用自相似函数，对这些不同类型裂纹扩展问题进行求解，获得裂纹尖端的应力，裂纹的张开位移，动应力强度因子及位错分布函数的解析解,并描述了若干位错分布函数的变化规律。 4.讨论了横观各向同性体的轴对称扩展裂纹的断裂动力学问题。用自相似函数的方法和复变函数论推导轴对称扩展裂纹问题的有关公式，并利用这些公式，分别对裂纹表面受增加载荷、坐标原点受到阶跃载荷作用下的问题以及圆锥体压入半无限弹性体的问题分别进行求解。获得裂纹尖端的应力、裂纹的张开位移、动态应力强度因子及位错分布函数的解析解，并描述了若干位错分布函数的变化规律。 本文研究动态裂纹的扩展问题，深入探讨自相似解法，提供了扩展裂纹的位移场，应力场，应力强度因子及位错分布函数等有价值的解。