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本文研究了二阶椭圆偏微分方程（组）解的存在性和对称性，主要包括几个椭圆系统和一类带凹-凸非线性项的p-Laplace方程.由于我们研究的椭圆系统和Bose-Einstein凝聚有关系，因此近十几年来这类系统得到了许多数学家的关注，也得到了许多优秀的成果，如解的存在性，唯一性，多解性，以及解的渐近性质等. 对称性是方程（组）解的一类重要性质，自Gidas-Ni-Nirenberg[30,31]后，椭圆方程解的径向对称性和部分对称性有许多结果，而关于椭圆系统解的对称性结果并不多见，尤其是解的非径向对称性.第二章我们研究如下椭圆系统:{-Δu+μ1u=|x|αuv2 x∈B，-Δv+μ2v=|x|αu2v x∈B，(1)u，v＞0 x∈B，u=v=0， x∈(e)B，其中B是R3中以原点为球心的单位球，μ1，μ2＞0且μ1≠μ2，α＞-1.利用移动平面法我们证明了当-1＜α≤0时，椭圆系统(1)至少存在一个基态解，而且这个解是径向对称的;当α＞0时，利用rescaling方法和Poho(z)aev恒等式我们证明了存在一个常数α*＞0，当α＞α*时，椭圆系统(1)的基态解是非径向对称的，但是对所有α＞0，系统(1)的基态解具有foliated Schwarz对称性. 第三章用Poho(z)aev恒等式和rescaling方法研究如下更一般的椭圆系统:{-Δu+μu=|x|αu3+|x|βuv2 x∈B,-Δv+μv=|x|αv3+|x|βu2v x∈B，(2)u＞0，v＞0 x∈B，u=v=0 x∈(e)B，其中μ＞0，α＞β＞0，B是R3是单位球.我们得到了存在β*＞0，当β＞β*时，椭圆系统(2)基态解不是径向对称的，然后利用极大值原理证明了基态解具有部分对称性.我们指出因为该系统有|x|αu3，x|αv3项，需要利用Morse指标的方法证明基态解是非平凡的. 关于非自治椭圆系统的全局解没有太多结果，第四章我们研究了一类简单的非自治椭圆系统{-Δu+u=(μ1+εb1(x))u3+βuv2 x∈R3,-Δv+v=(μ2+εb2(x))v3+βu2v x∈R3,(3)u＞0，v＞0 x∈R3，其中μ1，μ2＞0，β＞-√μ1μ2，|ε|很小，b1，b2满足bi(x)∈L∞(R3)且lim|x|→+∞bi(x）=0，i=1，2.(*)利用约化和扰动方法我们证明了系统(3)存在一个解. 从Ambrosetti-Brezis-Cerami[4]的工作后，带凹-凸非线性项的椭圆方程得到了许多研究人员的注意.第五章用Guo-Zhang[29]的方法我们研究如下p-Lapalce方程{-Δpu=λuq+|x|αuh x∈B，u＞0 x∈B，(4)u=0 x∈(e)B，其中B是RN中的单位球，λ＞0，0＜q＜p-1＜h＜p*(α)-1，这里p≥2，p*（∝)=Np+pα/N-p.利用上下解方法和变分法我们证明存在Λ＞0，使得当λ∈（0，Λ）时，方程(4)至少存在两个正解，其中一个是径向对称的.