McKay箭图与自入射代数

• 作 者: 朱灿
• 机 构: 湖南师范大学
• 出 处: 湖南师范大学
• 发表日期: 2007年期
• 关键词: McKay箭图 自入射代数 Loewy矩阵 Euler函数 分圆多项式

1980年，McKay提出了McKay箭图的概念并且指出对于SL(2，C)的有限子群G，其McKay箭图就是扩张Dynkin图A<,n>，D<,n>，E<,6>，E<,7>，E<,8>和经典的McKay对应： SL(2，C)的有限子群G的表示和Klein奇点C<2>/G的极小分解的上同调的一一对应．
本文主要考虑高维的情形McKay箭图的情形，他们具有什么形状?我们利用斜群代数的办法将McKay箭图与Koszul Artin-Schelter正则代数和Koszul自入射代数之间联系起来，从而利用Loewy矩阵的性质得到了McKay箭图的一系列刻画，实际上是通过对Loewy矩阵的刻画来决定高维情形的McKay箭图，同时决定有限复杂度Koszul自入射代数．
在第1章介绍了一些预备知识，回忆McKay箭图的定义以及从图的角度给出它的一些刻画．从GL(m，C)的有限子群利用斜群代数的办法得到Artin-Schelter正则Koszul代数和Loewy长度为m+1的Koszul自入射代数，而对于Koszul自入射代数我们可以定义Loewy矩阵，这样就建立了McKay箭图及自入射代数与Loewy矩阵的联系，并且给出Loewy矩阵的性质．而Loewy矩阵的特征值是个很好的性质，我们证明它恰好就是分圆多项式的根．
在第2章回顾了分圆多项式的性质，证明了Euler函数的一个简单性质；对n>2且n≠6，ψ(n)≥平方根n.探讨Loewy矩阵的特征多项式和分圆多项式之间的紧密联系：
在第3章定义了3-特征根，并且决定了3-特征根对应的箭图；由此进一步确定仅有三个互不同构的不可约表示的SL(3，C)的有限子群McKay箭图，并在这些箭图定义上根四次方为零的自入射Koszul代数。