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本文首先从度序列的角度研究了连通图的性质，证明了一个图是连通图的充要条件为其度序列d=(d1,d2…dn)满足：为偶数且对1<=k<= n成立,}；且证明了正整数序列 d=(d1,d2…dn)是树的度序列的充要条件是。然后，在此基础d=(d1,d2…dn)上证明了一个平面图在顶点数小于12或每个点的度都小于5的情况下四色猜想都是成立的。 本文对图的唯一3列表染色也进行了研究，证明了判定一个图为唯一3列表可染色图的一个充要条件和一个充分条件，并且找到一类m数为4的平面图。本文还对图的染色的方法数进行了研究，利用组合的方法求出了完全r部图的颜色多项式，并得到了一个关于组合数的公式。