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风险理论产生于保险公司承担项目的可行性研究。一般来说,它主要关注保险公司的商业运营,特别是公司的偿付能力。在风险理论中,最基本的模型就是Lundberg在1903年首次提出的古典风险模型。自从Lundberg的理论创立至今,作为精算数学的一部分,风险理论已经成为精算数学研究中最引人注目的领域。古典风险模型是用一个具有空间齐次性和独立增量性的复合泊松过程来描述的。正是因为古典风险模型具有这么完美的性质,所以在此模型下几乎所有的精算变量的精确结果都已经得到明确的解析形式。这些精算变量包括破产时间、破产前瞬间余额、破产赤字等等。学者们针对这些精算变量,对破产概率和Gerber-Shiu折现罚金函数进行了广泛的研究,最有代表性的是风险理论的先驱和开拓者Buhlmann和Gerber两位教授。
在一般风险理论中,人们感兴趣的是盈余过程。而在古典风险模型中,盈余过程是由保费率,跳跃的密度和索赔量决定的。由于古典风险模型具有前述的时间齐次性和独立增量性的特点,因此对保险公司来说,古典风险模型是不切实际的。为了使模型更贴近于实际,更能刻画风险的实际情况,我们可以把古典风险模型进行改造或多方向推广,如带常利率的古典风险模型。索赔到达的记数过程可用较Poisson点过程更一般的点过程来刻画。至少有两种不同的原因可以说明用其它点过程来刻画索赔到达的记数过程比Poisson点过程更贴近实际。首先,Poisson过程是增量平稳的,这意味着在此投资组合中,投保人的数量不能增加。由于没有把增加业务的可能性考虑在内,很少保险经理人会接受这个模型。其次,潜在风险可能存在波动,典型的例子是汽车保险和火灾保险。进而,我们可以把跳跃的密度推广到依赖当前过程。近几年利息率的引入使古典风险模型更加趋于实际情况。所有这些推广的风险模型都可以转化为保费依赖当前盈余的风险模型。除此以外,我们也可通过推广索赔大小的分布依赖当前过程来拓展古典风险模型。众所周知,在逐段决定马尔可夫过程中,保费费率,跳跃的密度和索赔分布都依赖于盈余过程。鉴于以上原因,我们主要研究盈余过程是逐段决定马尔可夫过程的风险模型。
逐段决定马尔可夫过程是由确定性运动和随机跳跃混合构成的一类非扩散过程。它是由Davis在1984年提出的.随后,这种过程被Hou、Liu等教授所推广。参考Liu et al(2000)和Hou and Liu(2005)。逐段决定马尔可夫过程具有很多完美的性质,它激发了人们极大的研究兴趣,被广泛地应用到许多领域,如工程系统、排队论、可靠性、保险分析、优化、运筹学、管理学、经济学和应用概率等,并取得了巨大的成功。正如Embrechts对Davis的论文所作的讨论中所指出的那样,在风险理论的应用研究中,逐段决定马尔可夫过程提供一个标准的理论。Dassios and Embrechts(1989)和Embrechts and Sehmidli(1994)探讨了如何运用这一理论去解决保险业中的风险问题。基于上述理论和研究背景,我的博士学位论文主要致力于由一些逐段决定马尔可夫过程来描述盈余过程的破产理论和首中时的研究。本篇论文的结构和内容安排如下：
第一章,主要回顾逐段决定马尔可夫过程的定义,古典风险模型、模型中一些基本定义并简要叙述论文的主要内容。
第二章,研究由逐段决定马尔可夫过程描述的风险盈余过程。此逐段决定马尔可夫过程具有一个外部状态,并且状态空间是实数。也就是说,它只有一个向量域。这种风险盈余过程是1989年Dassios和Embrechts所考虑的风险模型的一种特例,它被Wang et al(2003)讨论过。我们主要研究此盈余过程的破产概率和Gerber-Shiu折现罚金函数.通过鞅测度变换,我们得到破产概率的表示形式。借助于局部调节系数,我们得到破产概率的两个指数型上界。另外,Gerber-Shiu折现罚金函数满足一个Volterra积分方程。利用Volterra,积分方程的解,我们把Diekson公式推广到这种盈余过程。最后,利用2005年Wu等教授的方法,我们得到期望折现罚金函数另一种表达方式。
第三章,研究保费依赖当前盈余的风险盈余过程,这种风险盈余过程在1995年就被Asmussen和Nielsen研究过。参考Asmussen and Nielsen(1995)和As-mussen(2000)。很容易验证这种盈余过程是逐段决定马尔可夫过程。首先,我们得到破产时,破产前瞬间余额和破产赤字三者的联合分布。其次,我们引入了由这种盈余过程在x点构成的瑕疵的更新测度,并且给出其表达式。借助其表达式和盈余过程的强马氏性,我们精确得到首中时的分布。更进一步,得到破产前的最大值分布,破产后盈余过程首次穿过零点前的最大值和最小值的联合分布和盈余过程末离零点前的最大值和最小值的联合分布。
第四章,讨论Embrechts-Schmidli模型。这种模型是由Embrechts和Schmidli在1994年首次提出.这种模型假设当公司的资金出现赤字,允许公司借钱,并且当资金高于一定水平,公司可以获得利息。所有这些模型都是逐段决定马尔可夫过程。本章将研究它的一个特殊情形,此情形由Dassios和Embrechts在1989年首次提出,Zhang和Wu在1999年称之"D-E"模型。我们利用逐段决定马尔可夫过程的理论来构造一个鞅,然后利用最优停时定理得到首中时的拉普拉斯变换。另外,在实务中公司的破产概率是很小的,因此只用破产概率做为评估准则是极端保守的。还有一种情况是,被考虑的投资组合只是公司许多业务中的一项,在投资组合业务出现赤字的情况下,该公司有足够的资金可用来支撑负的盈余一段时间,以期待该组合在将来恢复,该公司可以继续保持这方面的业务。在这种条件下,也许更有趣的问题是破产发生后,风险过程在零点以下运行多长时间,也就是说,所有负盈余持续的时间。利用过程的强马氏性和首中时的拉普拉斯变换,我们获得总的负持续时的拉普拉斯变换。
第五章,将模型拓展到另一个新的模型,其索赔记数过程是一个更新记数过程,保费收入依赖于向后重现时间过程。在汽车保险中,许多保险公司现在使用信用评分来收取保险费。保费率依赖于从最后一次索赔到现在的时间。一旦索赔发生,保险公司将重新考虑保费。也就足说,保费收入依赖于向后重现时间过程。我们将利率引入到这种风险模型来研究。虽然它不再是逐段决定马尔可夫过程。但是,在两次索赔之间,它仍按决定的轨道来运行。利用鞅方法和递推方法,我们得到破产概率两个指数型的上界。本章还考虑了几个具体的例子,并得到其上界的数量比较。第六章,再次考虑带扰动的复合泊松风险模型。其中扰动过程是一个布朗运动。这种模型是Gerber在1970年首次提出。我们利用点过程的观点来研究破产前余额和破产赤字的边际分布和联合分布。这样就避免了对Gerber-Shiu折现罚金函数的限制条件和解积分微分方程的麻烦。