【摘 要】
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能量是保守哈密顿动力学系统中的重要守恒量,在一定程度上决定了系统的运动规律。在求解保守哈密顿系统时,把握体系能量不变是准确分析系统动力学性质的关键,这就促使我们要
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能量是保守哈密顿动力学系统中的重要守恒量,在一定程度上决定了系统的运动规律。在求解保守哈密顿系统时,把握体系能量不变是准确分析系统动力学性质的关键,这就促使我们要构造、发展基于保守哈密顿系统的保能量算法。本文在哈密顿正则方程离散化的基础上,将每一个正则变量的梯度改写成多个哈密顿量差、商的形式,进行多次平均,成功地构造出具有二阶精度、不含任何截断误差的8维哈密顿系统保能量算法,填补了此类型算法在高维哈密顿系统中的空缺。我们将新构造的二阶8维保能量算法应用于无序离散非线性薛定谔方程、Fermi-Pasta-Ulam-β模型和后牛顿自旋致密双星系统,测试了算法的能量误差、轨道误差、计算效率等多个方面的性质,并将相关数值结果与同阶龙格-库塔法、隐式中点法、扩大相空间类辛算法进行对比。通过比较不同算法的表现,我们发现二阶8维保能量算法在保持系统能量不变方面具有绝对优势,其计算所得能量误差精度极高,且呈现长期稳定趋势。同时,我们利用二阶8维保能量算法求得的数值解,分析了 Fermi-Pasta-Ulam-β模型的轨道动力学特征,研究了系统由有序状态转为混沌的能量临界值。在后牛顿自旋致密双星系统中,我们借助保能量算法分析了天体轨道形状、进动、引力波辐射与轨道初始偏心率的关系。因为保能量算法是不含有任何截断误差项的、严格保持系统能量不变的稳定数值积分算法,所以在一些需要长期保持系统能量不变的研究中,保能量算法是可靠的求解工具,值得进一步发展。
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