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本文的第一章考虑两个丢番图方程x<2>+3<2m>=y和x<2>+5=y，x>0，n>2，m，n∈N.对于前者，我们证明除了当n=11，23之外仅有解（x，y，m，n）=（46，13，2，3）；对于后者，我们证明当2+m时无解，当2｜m时在进一步要求（x，y）=1下除了n=19其它情形均无解。对于可能有解的情形，我们作了一些相应的刻画。
第二章我们研究了Ankeny，Artin和Chowla关于一类实二次域类数与相关的虚二次域类数之间的同余关系的一个定理的另一情形，即当实二次域的判别式d｜4的情形，他们只考虑了d≡1 mod 4的情形。我们用Jacobi符号给出在我们考虑情形下对应于他们的定理的等价陈述。这样我们如果证明了一些关于Jacobi符号的和的论断，就能给予完整形式的Ankeny-Artin-Chowla定理（他们的证明是初等的）一个初等证明。而现在我们只能借助p-adic L-函数理论中相当深刻的结果才能给出一个证明。这个证明我们放在这一章的最后。