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许多科学和工程问题的数学模型往往由偏微分方程所描述，而绝大多数的偏微分方程没有解析解，这为利用方程来解决实际的工程改造和工程控制设计等问题带来了很大的困难，因此数值求解偏微分方程便应运而生。此外，在科学和工程计算中往往要求数值解具有高精度、保持原模型的一些性质如能量守恒性等以及在长时间模拟下数值误差不会太大，而高精度守恒的数值格式能够满足这些“苛刻”的要求。本文使用变限积分法数值求解Klein-Gordon方程和Korteweg-deVriesBenjamin-Bona-Mahony(KdV-BBM)方程，使用局部间断Galerkin法数值求解Benjamin-Bona-Mahony(BBM)方程和改进的Boussinesq方程，得到相应的高精度保持原方程守恒性的数值格式。这些方程出现在流体力学、非线性光学、声学、量子物理等重要的科学和工程领域，因此这些方程的高精度守恒的数值格式不仅会帮助相关领域的理论发展还会有广泛的应用价值。
本文的主要的创新性结果有：
1.在以下两个方面发展和完善了变限积分法的理论：第一，探讨了如何用泰勒公式法处理变限积分，以及如何设计积分限参数以得到的“整齐”的变限积分结果，通过这种方法说明了所有由差分可以得到的格式均可由变限积分法得到；第二，通过对变限积分的交换积分次序的运算，揭示了变限积分法本质上是利用到网格点附近所有点的“加权”信息，而不仅仅是网格点上的信息，这是与差分法只用到网格节点上的信息有本质上的不同。
2.用变限积分法设计了非线性Klein-Gordon方程的一个四阶紧致守恒的空间半离散格式，并证明了空间半离散格式的稳定性和收敛性。然后利用多维扩展的Runge-Kutta-Nystr?m(ERKN)方法离散时间，得到全离散格式。数值算例验证了收敛阶、能量守恒性，并和现有的一些方法作了比较，发现变限积分法具有较小的误差和能量差。算例最重要的一个贡献是模拟了解的有限时间爆破，分析了初始能量和初始泛函等对爆破时间的影响，这使得提出的四阶守恒的数值格式不仅会有重要的理论和应用价值，还可为实际的工程控制问题像如何避免爆破或控制爆破(提前或延缓爆破的时间)提供重要参考。
3.用变限积分法得到了关于非线性KdV-BBM方程的两种四阶并保持质量与能量守恒的空间半离散格式。证明了这两种空间半离散格式的解在离散无穷范数下依初值稳定以及按照O(h4)收敛到精确解。然后利用隐式中点法方法离散时间，得到全离散格式。数值实验验证了全离散格式的时间和空间收敛阶、质量和能量的守恒性，以及在长时间下误差增长缓慢。最后模拟了双孤子波的碰撞。
4.用局部间断Galerkin法对BBM方程提出、分析和数值验证了两类具有最优的先验误差估计的数值格式：LDG格式和dLDG格式。其中LDG格式能保持离散形式的质量。通过选择恰当的数值通量，LDG格式还能保持/耗散离散形式的能量。dLDG格式是通过“加倍PDE”的思想，即引入了一个零解的BBM方程构造出的。dLDG格式也能保持离散的质量与能量。论文的一个重要的工作是揭示了辅助变量和主变量误差之间的联系。利用这种联系，通过辅助变量来约束非线性项进而证明了两类数值格式均具有最优的先验误差估计。时间离散则是采用了能保持能量的隐式中点法。数值实验表明能量守恒的LDG格式无论从长时间的误差、保持波形还是相位误差方面都要好于能量耗散的LDG方法。而dLDG方法一方面能够改善Central-LDG格式的次优误差估计的结果，另一方面，同守恒的LDG格式相比，在同样的网格条件下，dLDG方法的数值误差更小，但计算时间却相差不多。
5.用局部间断Galerkin法离散改进的Boussinesq方程，提出了一种能保持原方程质量和能量并具有最优误差估计的LDG格式。然后使用显式与隐式的时间离散方法得到了两种能精确的保持质量与能量的全离散格式。数值算例验证了该方法具有最优收敛阶。波传播的数值模拟表明提出的LDG格式能够很好的模拟出单波的传播、双波的碰撞、单波的分裂和有限时间爆破。
本文的主要的创新性结果有：
1.在以下两个方面发展和完善了变限积分法的理论：第一，探讨了如何用泰勒公式法处理变限积分，以及如何设计积分限参数以得到的“整齐”的变限积分结果，通过这种方法说明了所有由差分可以得到的格式均可由变限积分法得到；第二，通过对变限积分的交换积分次序的运算，揭示了变限积分法本质上是利用到网格点附近所有点的“加权”信息，而不仅仅是网格点上的信息，这是与差分法只用到网格节点上的信息有本质上的不同。
2.用变限积分法设计了非线性Klein-Gordon方程的一个四阶紧致守恒的空间半离散格式，并证明了空间半离散格式的稳定性和收敛性。然后利用多维扩展的Runge-Kutta-Nystr?m(ERKN)方法离散时间，得到全离散格式。数值算例验证了收敛阶、能量守恒性，并和现有的一些方法作了比较，发现变限积分法具有较小的误差和能量差。算例最重要的一个贡献是模拟了解的有限时间爆破，分析了初始能量和初始泛函等对爆破时间的影响，这使得提出的四阶守恒的数值格式不仅会有重要的理论和应用价值，还可为实际的工程控制问题像如何避免爆破或控制爆破(提前或延缓爆破的时间)提供重要参考。
3.用变限积分法得到了关于非线性KdV-BBM方程的两种四阶并保持质量与能量守恒的空间半离散格式。证明了这两种空间半离散格式的解在离散无穷范数下依初值稳定以及按照O(h4)收敛到精确解。然后利用隐式中点法方法离散时间，得到全离散格式。数值实验验证了全离散格式的时间和空间收敛阶、质量和能量的守恒性，以及在长时间下误差增长缓慢。最后模拟了双孤子波的碰撞。
4.用局部间断Galerkin法对BBM方程提出、分析和数值验证了两类具有最优的先验误差估计的数值格式：LDG格式和dLDG格式。其中LDG格式能保持离散形式的质量。通过选择恰当的数值通量，LDG格式还能保持/耗散离散形式的能量。dLDG格式是通过“加倍PDE”的思想，即引入了一个零解的BBM方程构造出的。dLDG格式也能保持离散的质量与能量。论文的一个重要的工作是揭示了辅助变量和主变量误差之间的联系。利用这种联系，通过辅助变量来约束非线性项进而证明了两类数值格式均具有最优的先验误差估计。时间离散则是采用了能保持能量的隐式中点法。数值实验表明能量守恒的LDG格式无论从长时间的误差、保持波形还是相位误差方面都要好于能量耗散的LDG方法。而dLDG方法一方面能够改善Central-LDG格式的次优误差估计的结果，另一方面，同守恒的LDG格式相比，在同样的网格条件下，dLDG方法的数值误差更小，但计算时间却相差不多。
5.用局部间断Galerkin法离散改进的Boussinesq方程，提出了一种能保持原方程质量和能量并具有最优误差估计的LDG格式。然后使用显式与隐式的时间离散方法得到了两种能精确的保持质量与能量的全离散格式。数值算例验证了该方法具有最优收敛阶。波传播的数值模拟表明提出的LDG格式能够很好的模拟出单波的传播、双波的碰撞、单波的分裂和有限时间爆破。