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在半群代数理论的发展过程中，同余起着越来越重要的作用．很多时候，为了要研究一类半群，我们常通过研究其上的同余，由此获得这类半群的内部结构及其同态像等知识．特别地，利用其上的同余格的性质，可以获得更多结构相对简单的半群类．无论如何，同余在半群的结构中占有核心的地位．对同余的有效处理可以为研究正则半群提供一个很重要的途径．
对于正则半群上的同余的研究的一个有效的方法是核迹方法．这种方法是把正则半群S上的同余ρ研究分成核迹两部分．设S为正则半群，我们记E(S)为S的幂等元集合，ConS为S上的同余格．对S上的任一同余ρ，记()ρ| E(S)分别为ρ的核与迹．核迹方法的核心是任何同余ρ都可由核kerρ与迹trρ唯一确定，同时又为同余格ConS定义了两个新的关系T，K：关系T和K满足T∩K=ε．F．Pastijn和M． Petrich在[14]中主要讨论了幂等类为完全单半群与幂等类为矩形带两类同余，并由此定义了U关系与V关系，且U，V为ConS上的完全同余．U关系与V关系定义如下关系T和V满足T∩V=ε．正则半群上的同余之所以可以由同余的核与迹唯一确定，且同余可由核迹刻画出来，就是因为T∩K=ε．又从T∩V=ε，可以设想正则半群上的同余也应该由同余的迹和由V—关系确定的另一个同余“分量”来唯一确定，这种刻画方式已由杨慧园在[24]所给出，她证明了正则半群上的同余可由同余的迹和V—部分刻画．由此可见对一些特殊正则半群同余格上交为恒等关系的两个等价关系的研究，对刻画这类半群上的同余具有重要意义．在本文中，我们主要讨论某些正则半群同余格上ρ∧，ρ∨—关系，推广上述的刻画方式，找到同余格上交为恒等关系的两个等价关系．并且利用这两个等价关系来给出某些正则半群上同余的抽象刻画．
在第一章中，我们首先利用W． D．Munn，N．R． Reilly和J．E.Ault研究双单ω—逆半群上的同余的一些重要结论，重点研究了双单ω—逆半群同余格上的H∧，H∨—关系，并由这两个关系找到了ConS上两个交为恒等关系的等价关系P与Q，并利用这两个等价关系给出其上同余的统一刻画方式．
第二章是第一章的推广．我们首先给出单幺半群Bruck—Reilly扩张上另一类型同余的刻画方式，并且知道这一类型的同余对应与双单ω—逆半群上的幂等分离同余．并且其上双循环同余()对应与双单ω—逆半群上的最大幂等同余H．因此我们考虑并研究单幺半群Bruck—Reilly扩张同余格上的()∧，()∨—关系．然后进一步地研究得到ConS上交为恒等关系的两个等价关系L和R，并利用这两个等价关系给出其上同余的统一刻画方式．
第三章中，我们首先指出逆半群的完备矩形带是Q—逆断面的正则半群．这样的话，参考[22]完全可以得到逆半群的完备矩形带上同余的刻画．但在本章中我们主要考虑其同余格上的δ∧，δ∨—关系的等价刻画．得到一些有用的信息如在其同余格上有，δ∧=V，δ∨()T．