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离散曲面造型是计算机图形学和几何设计中的重要组成部分。由于技术条件限制，由三维扫描或其它手段获取的离散曲面的质量通常无法满足后续几何建模、曲面编辑和数值计算等处理的要求。因此需要对离散曲面的原始网格数据进行一系列的几何优化，从而改善和提高其质量，这个过程称为几何优化。几何优化是离散曲面造型中必不可少的步骤，具有重要理论和实践意义。本文以实际应用为驱动，对离散曲面几何优化的理论和方法进行了新的研究探索，提出了一些新的方法。本文主要成果如下：
(一)对离散曲面噪声消除进行了新的探索。(1)改进了广泛使用的双线性滤波算法。通过对曲面相邻顶点之间信号量距离的分析和重新定义，在有效消除噪声的同时，更为有效的保持了曲面特征。(2)为了处理采样点稀疏的曲面，提出一种新的高斯平滑算法，并给出了噪声消除力度的自适应选择方法，从而实现了各向异性滤波。实验结果表明，该算法不依赖于曲面顶点规模，能够很好的保持曲面特征，克服过平滑问题。
(二)提出离散曲面几何特征识别的新方法。离散曲面上的几何特征(尖点、折痕等)在几何优化过程中必须加以保持。(1)给出了基于边的扩展二阶差分的几何特征识别方法。实验证明，该方法可以快速准确的识别特征连续的曲面上的几何特征。(2)为了更好的处理特征不甚突出或细碎的曲面，引入曲面顶点二测度张量域的概念，通过对其特征空间的分析实现了几何特征识别。
(三)提出离散曲面三角域重网格化的新方法。(1)根据顶点高斯曲率和平均曲率定义顶点的密度，通过高斯概率分布将其与网格边长相结合，定义边记分函数。以此函数对网格边逐一分析，通过局部欧拉操作调整采样率。(2)证明了当顶点位于其Voronoi单元的加权重心位置时，曲面表面能量达到极小。以此作为三角面片几何形态调整的优化目标，通过Llovd-Newton松弛迭代对曲面顶点重新分布，其中着重考虑了交叉边和重叠边问题。(3)我们将模拟模拟退火算法应用于顶点拓扑连接优化问题，在保持几何形状的同时有效地实现了对奇异顶点的消除，并给出了奇异顶点局部迁移的方法。实验结果表明，这套重网格化方法能够明显改善三角网格曲面质量。
(四)提出离散曲面四边化和四边域重网格化的新方法。CAD/CAM中的很多数值计算都依赖于曲面的四边网格表示，为此需要将非四边域表示的曲面四边化。(1)提出一个基于曲面区域分割和多边形剖分的四边化方法。通过法向分割和CVT细化，将离散曲面的绝大多数网格转化为六边形面片。对六边形网格按照特定的策略进行剖分，可得绝大多数为正则顶点的四边形网格。而后通过面积均衡化和角度平滑相结合的方法优化四边形网格几何形状。实验证明该方法基本可以满足实际应用的需要。(2)针对实践中大量处理的有界曲面的特点，给出一个基于平均坐标参数化的全局四边化方法。实验结果初步表明，该方法可以获得质量极高的四边形网格离散曲面。
我们将上述方法系统化并集成在由北京大学自主开发的离散几何设计软件PUM，2.0中，并将其应用于汽车外形CAD工业设计。实践证明，本文提出的解决方案能够有效实现对离散曲面的几何优化，从而为后续的几何设计和建模提供良好的基础和保障。