【摘 要】
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偏积分微分方程,被广泛运用于物理学、生物学、材料学和工程学之中,能有效地模拟出上述动态系统中的记忆效应.然而,此类方程往往难以寻求出解析解,因此我们考虑构建一种高效
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偏积分微分方程,被广泛运用于物理学、生物学、材料学和工程学之中,能有效地模拟出上述动态系统中的记忆效应.然而,此类方程往往难以寻求出解析解,因此我们考虑构建一种高效且稳定的数值格式以进行求解.本文主要研究一类非线性抛物型偏积分微分方程的数值方法及其误差分析,即空间方向采用紧致差分方法,时间方向采用隐显向后微分公式IMEX BDF(Implicit-explicit Back-ward Differentiation Formula)方法,其中积分项利用梯形求积公式进行求解,我们将上述数值方法称为紧隐显BDF方法.同时,对数值格式进行了相关的理论分析,并给出了一些数值算例,验证了数值格式的准确性和有效性.首先,介绍了抛物型偏积分微分方程及其数值解法的研究背景与发展历程.其次,对一维抛物型偏积分微分方程构建了紧隐显BDF差分格式,给出了算法的收敛阶O(τ2+h4),其中τ为时间步长,h为空间步长.而后对数值格式进行了理论分析,并通过一些算例验证了数值格式的有效性.进一步地,借助交替方向隐式ADI(Alternating Direction Implicit)方法,给出了二维情形下相应的差分格式,此时算法的收敛阶为O(τ2+hx4+hy4),其中τ为时间步长,hx和hy分别为x、y方向上的空间步长.通过先验估计式与能量方法,证明了数值格式的稳定性与收敛性,同时也给出了一些数值算例,对比了经典的二阶隐式BDF方法,验证了该差分格式的准确性和有效性.最后,对上述讨论的数值方法及理论分析进行了总结,并提出了一些展望.
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