【摘 要】
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设n为正整数，S={x,..，x}为n个不同的正整数构成的集合.对x∈S，定义Gs(x)：={d∈S|d
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设n为正整数，S={x<,1>,..，x<,n>}为n个不同的正整数构成的集合.对x∈S，定义Gs(x)：={d∈S|d和x<,j>的最大公因子(x<,i>，x<,j>)为(i，j)项的n×n矩阵为定义在集合S上的GCD矩阵，记为(S).同样可以定义LCM矩阵[S].在1992年，美国数学家Bourque和IAgh证明了如果S是因子封闭的(即对任意的x∈S，若d|x，则d ∈S)，那么在n阶整数矩阵环中，有(S)|[S]成立.集合s称作gcdf最大公因子)封闭的，如果对于所有1≤i,j≤n，有(x<,i>，x<,j>)∈S.显然FC集合是gcd封闭的，但反之不成立.在2002年，Hong(洪绍方)证明了对任意的gcd封闭集合S，且|S|≤3，有(S)|[S].同时Hong证明了存在gcd封闭集合S，满足max<,x∈S>|Gs(x)=2，使得(S)|[S].在本文中，将对于满足条件max<,x∈S>{|Gs(x)|}=2的gcd封闭集合S给出一个充分条件，使得在整数矩阵环中，[S]被(S)整除.此结果部分解决了Hong在2002年所提的一个公开问题.还证明了如下结果：如果S由两条互素的因子链所组成，那么GCD矩阵(S)整除LCM矩阵[S].这部分验证了Hong在2006年所提出的一个猜想.
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