【摘 要】
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许多重要的物理现象都可由Helmholtz方程描述,其中包括电磁散射问题,声波散射问题和水波传播问题等等。如何有效地精确地得到Helmholtz方程的数值解已经成为一门重要的研究课
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许多重要的物理现象都可由Helmholtz方程描述,其中包括电磁散射问题,声波散射问题和水波传播问题等等。如何有效地精确地得到Helmholtz方程的数值解已经成为一门重要的研究课题。在实际应用中,求解区域往往是不规则的,经常要求对某些区域更加精确的求解,所以研究非均匀网格系统下Helmholtz方程的数值解也是非常必要的。本文首先给出了求解均匀网格系统下二维Helmholtz方程的高阶快速数值算法,对于非均匀网格系统下的二维Helmholtz方程,构造出了五点和九点差分格式,通过数值实验分别证明了算法和格式的有效性。接着由二维拓展到三维,给出了三维Helmholtz方程的高阶快速数值算法,并通过数值实验表明,这种高阶快速数值算法对于求解三维Helmholtz方程的Dirichlet边界问题也是有效的。 本文各章节内容安排如下: 第二章给出本文所需的预备基础知识,主要包括模型问题,高阶紧有限差分格式的构造,FFT和Krylov子空间上的预处理迭代方法; 第三章提出二维Helmholtz方程的高阶快速数值算法。首先对于均匀网格系统下的二维Helmholtz方程非局部边界问题,构造出高阶紧有限差分格式,再利用文献[1]提出的方法将得到的离散系统缩小到腔体顶端边界的界面线性系统,用Krylov子空间上的预处理迭代方法作用在这个界面线性系统上,从而得到方程的解。对于非均匀网格系统下的二维Helmholtz方程,构造出了五点和九点差分格式,通过数值实验分别证明了算法和格式的有效性。 第四章将求解二维Helmholtz方程的高阶快速数值算法拓展到了三维,并通过数值实验表明,这种高阶快速数值算法对于求解均匀网格系统下三维Helmholtz方程的Dirichlet边界问题也是有效的。 第五章对全文进行总结,并对后续研究工作进行展望。
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