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孤立子理论作为非线性科学的一个重要分支，从二十世纪六十年代以来获得了重大进展，它不仅开拓了数学物理新的研究方向，还在许多高科技领域中有着重要的应用。与此同时，孤立子方程的求解也成为了研究的关键和难点。但是，对于这些非线性方程而言，由于叠加原理的失效，到目前为止还未能找到一种普遍有效的方法来精确求解它们，更多情况下还只能依赖于数值解法得到近似结果。为了能够更好地理解方程背后反映的物理规律，人们往往需要得到精确形式的解。这些精确解不仅能够预测和解释某些重要的物理现象，还可以用于设计和检测数值求解方法。因此，寻找更多精确求解这些非线性方程的方法有着重大的研究价值。不过这些方法往往涉及到非常繁琐的精确运算，仅仅依靠手工推演是很难完成的，而随着计算机技术的快速发展，具有符号运算功能的数学软件相继推出，使得原来复杂的数学运算可以用计算机来完成，这就为精确求解孤立子演化方程提供了可能性，本文正是基于二者的结合，深入研究了求解孤立子方程的符号计算方法，并借助于计算机代数软件给出了这些算法的程序化实现。
第一章介绍了计算机代数和孤立子研究的历史发展与现状，回顾了非线性发展方程精确解的若干构造性方法以及该领域国内外学者所取得的研究成果。
第二章从某些孤立子方程的解可以表示成双曲函数有理多项式的特点出发，给出了以投影黎卡提方程为辅助方程的构造性算法，该算法通过对解的形式作适当假设，将原方程的求解转化为代数方程组的求解，进而可以利用计算机代数工具予以实现。同时还将这种构造性思想应用到微分差分孤立子方程的精确求解，得到了一些有意义的结果。
第三章重点研究了求解孤立子方程的一种直接方法一Hirota双线性法。首先，针对该方法的计算复杂性，程序实现了单个因变量情况下连续和离散形式方程的精确求解问题，成功得到了一些双线性甚至多线性方程的单孤子和双孤子解，并验证了它们的三孤子条件。其次，修正了耦合可积方程的双线性形式，归纳得到它的多孤子解。最后，基于双线性算子恒等式，得到了一种破碎孤子方程双线性形式的贝克隆变换和相应的非线性叠加公式，并严格证明了它的朗斯基行列式解。
第四章将对称群的思想应用于孤立子方程的求解，利用直接约化的方法得到了一些新的对称约化。
第五章以判定偏微分方程可积性的潘勒卫测试为基础，成功编制Maple软件包SMM，实现了整个分析过程的完全程序化，并对一些非线性方程进行了测试。另外，还研究了截断展开在求解中的应用，得到一些方程新的分离变量解。