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本学位论文主要研究了子流形的Pinching问题，Wulff流,Lp-Brunn-Minkowski理论，对偶Lp-Brunn-Minkowski理论，Orlicz-Brunn-Minkowski理论和对偶 Orlicz-Brunn-Minkowski理论.得到了一些内蕴刚性定理，Wulff-Gage等周不等式等号成立的充要条件，Wulff-Ros等周不等式，对偶Orlicz混合均质积分的定义及其相关的对偶Orlicz-Minkowski不等式，对偶Orlicz-Brunn-Minkowski不等式等.这些分别是微分几何，积分几何与凸几何分析领域中的热点问题。 在第二章中，我们讨论了复空间形式中具有平行平均曲率向量的全实伪脐子流形Mn的一些性质，采用活动标架法，通过估算子流形第二基本形式模长的平方的Laplacian,利用Hopf极大原理，Stokes定理，通过对伪脐子流形Mn的第二基本形式模长的平方，截面曲率和Ricc曲率加以限制,得到了Mn为全脐子流形的一些内蕴刚性定理. 在第三章中，给出了关于欧氏平面R2中的有界凸域K,W的Wulff-Gage不等式的加强形式，即证明了Wulff-Gage不等式等号成立当且仅当K与W位似,得到了名副其实的Wulff-Gage等周不等式.特别地,当W为单位圆盘时,我们可以得到Gage等周不等式的加强形式.利用支撑函数,可以将Wulff-Gage等周不等式写成关于以2n为周期的周期函数的积分不等式，该积分不等式可以看成Wulff-Gage等周不等式所对应的分析不等式.同时,也证明了曲率的Wulff熵等周不等式等号成立当且仅当K与W位似. 在第四章中，通过讨论平面卵形区域K+tW的支持函数的一些性质，证明了Wulff-Ros亏格在与W相关的Wulff流下是一个不变量，同时得到了Wulff-Ros等周不等式，找到了Wulff等周亏格与Wulff-Ros等周亏格之间的关系，还给出了Wulff-Ros等周亏格的几个下界估计值,最后还得到Wulff曲率序列积分的循环不等式. 在第五章中,主要研究对偶Orlicz-Brunn-Minkowski理论.通过讨论径向Orlicz线性组合，引入了对偶Orlicz混合均质积分的概念，并利用均质积分一阶变分公式得到了对偶Orlicz混合均质积分的积分表达式.建立了关于对偶Orlicz混合均质积分的对偶Orlicz-Minkowski不等式和对偶均质积分关于径向Orlicz线性组合的对偶Orlicz-Brunn-Minkowski不等式，同时还证明了它们的等价性。还得到了对偶Orlicz-Cauchy-Kubota公式.最后，通过继续讨论对偶Orlicz混合均质积分表达式,得到了对偶Orlicz混合均质积分的连续性,唯一性,在一般线性变换下的性质，以及关于对偶Orlicz混合均质积分的循环不等式. 在第六章中，重点讨论了Blaschke-Minkowski同态和径向Blaschke-Minkowski同态.建立了凸体的Blaschke-Minkowski同态关于Orlicz线性组合的Orlicz-Brunn-Minkowski不等式，星体的径向Blaschke-Minkowski同态关于径向Orlicz线性组合的对偶Orlicz-Brunn-Minkowski不等式.最后主要研究Lp-Brunn-Minkowski理论和对偶lp-Bru皿-Minkowski理论，通过讨论两凸体关于Blaschke-Minkowski同态的均质积分差函数，两星体关于径向Blaschke-Minkowski同态的对偶均质积分差函数，凸体关于Blaschke-Minkowski同态的均质积分与星体关于径向Blaschke-Minkowski同态的对偶均质积分差函数,得到了相应的&-Brunn-Minkowski不等式和对偶Ip-Brunn-Minkowski不等式.