高阶p-Laplace方程的解的存在性与多重性问题

• 作 者: 迟玉娟
• 机 构: 北京工业大学
• 出 处: 北京工业大学
• 发表日期: 2006年期
• 关键词: 微分方程 高阶方程 渐近线性

本文运用极小极大理论来研究高阶p-Lapalce方程解的存在性与多解性，全文分为三章：
第一章给出了本文所用的记号、概念及研究背景。
第二章讨论了如下形式的高阶非线性p-Laplace方程(p＞1)：{△(|△u|p-2△u)=f(x，u)在Ω内u=△u=0在(e)Ω上的解的存在性，其中u∈W01,p(Ω)∩W2,p(Ω)，Ω(∪)RN(N≥1)是有界光滑区域，边界(e)Ω是光滑的，且f在无穷远处关于u是渐近线性的。首先，我们从非线性分析的角度得到了抽象的结果；接着运用山路引理证明了在原点和无穷远处渐近线性方程解的存在结果。
第三章研究了具有冲突非线性性质的拟线性椭圆方程：△(|△u|p-2△u)=λ|u|α-2u+|u|β-2u-μ|u|q-2u在Ω内u=△u=0在(e)Ω上的解的问题，其中u∈W01,p(Ω)∩W2,p(Ω)∩Lq(Ω)，Ω(∪)RN(N≥1)是有界光滑区域，边界(e)Ω光滑，且1＜α＜p＜β＜q＜∞，λ＞0和μ＞0是两个实参数。首先证明了对(A)λ＞0，μ＞0，所研究方程在负能量处有无穷多个解；其次证明了对充分大的λ与μ，所研究方程在正能量处无解；最后证明了对β≤p*足够小的λ、μ，所研究方程在正能量和负能量处分别存在一组解。