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本文共分四节.在第一节中，介绍了有关Jackson不等式的背景.在第二节中，首先介绍一些必要的符号和定义.记J0是0阶Bessel函数，μk是J0(x)的第k个零点.令B是由[0，1]上满足f(1)=0的连续函数f构成的空间，且其具有内积(f，g)=∫10f(x)g(x)xdx，及范数‖f‖=(f，f)1/2.
记ψk(x)=J0(μkx).根据Bessel函数的性质可得，{ψk(x)}在上述内积(·，·)意义下是正交系(见[20]).记cN=g{g:g(x)=N∑k=1bkψk(x),bk∈R,x∈[0,1]}.对于任意的f∈B在空间cN中的最佳逼近定义为，E(f，cN)=min{‖f-g‖：g∈cN}.
对任意的f∈B，步长为t∈R的平移算子T(t)定义为，T(t)f(x)=1/2π∫2π0f(√x2+t2-2xtcosθ)dθ.对于每一个正实数r＞0，定义f∈B的r阶连续模，ωτ(f，τ)=sup{‖△τtf‖：0≤t≤τ}，其中△τt=(I-T(t))r/2=∞∑k=0(-1)k(r/2k)Tk(t).在本节中，我们考虑一个经典问题：在如下关于B用cN作逼近的JacksonStechkin不等式中的精确常数K=KN(τ，r)的估计，E(f，cN)≤Kωτ(f，τ)，f∈B，即，计算下列常数的问题，K=KN(τ,r)=sup{E(f,cN)/ωτ(f,τ)：f∈B，f≠const}.(0.1)有时，我们称(0.1)为Jackson-Stechkin常数.在这一部分中，我们得到的主要结果有，定理0.1.对任意的正整数N≥2及任意实数r≥1，有KN(2τ，r)=1，其中τ=μ1/μN+1，KN(τ，r)的定义可见(0.1).
定理0.2.对任意的正整数N≥2以及任意f∈B，有E(f，cN)≤2(1-r)/2ωr(f，2τ)，0＜r＜1，其中τ=μ1/μN+1.
证明定理0.1分两个部分，首先，通过运用Arestov[3]给出的引理，可以得到定理0.1的下界估计.然后，运用Yudin[18]的思想，可以得到定理0.1的上界估计.定理0.2的证明与定理0.1的上界估计的证明类似.
在第三节，记R2为2-维实空间，x=(x1，x2)∈R2，｜x｜=√x21+x22；Z2为R2中的整数格点，其中v=(v1，v2)∈Z2，而v·x=v1x1+v2x2是v与x的内积，T2={x∈R2：-π＜xi≤π，i=1，2}是2-维环.记L2(T2)是由实的2π-周期的且在T2上平方可积的函数作成的函数空间，同时，对任意的L2(T2)中的函数f，f的范数如下定义，‖f‖L22π={1/(2π)2∫T2｜f(x)|2dx}1/2.
对每一个正整数r，任意的f∈L2(T2)，f的r阶连续模定义如下：ωr(f，τ)L22π=sup{‖△τtf‖L22π：|t|≤τ}，其中△τtf(x)=r∑k=0(-1)k(rk)f(x+kt).我们用ER(f)L22π表示f∈L2(T2)，在L2(T2)尺度下，用R阶球形三角多项式作逼近的最佳逼近：ER(f)L22π=infcv∈R‖f(x)-∑|v|＜Rv∈Z2cveivx‖L22π=∑|v|≥Rv∈Z2|fv|2.在这一节中，我们有如下主要定理，定理0.3.对任意的f∈L2(T2)及R＞0，我们有ER(f)L22π＜1/√2ω(f，2π/R)L22π，(0.2)ER(f)L22π＜1/2ω2(f，2π/R)L22π，(0.3)
需要说明的是：不等式(0.2)是Yudin[18]中定理结果的特殊形式，因此，不等式(0.2)是精确的.但在本节中，我们借助Bessel函数，用与Yudin[18]不同的方法，证明了(0.2)中关于Jackson常数的上界估计.但是不等式(0.3)并不是精确的.
在最后一节中，我们考虑对于任意的正整数m，L2(Rm)空间中的函数用指数型整函数逼近的Jackson不等式.用Rm表示m-维实空间，令x=(x1，x2，…，xm)∈Rm，|x|’=max1≤i≤m|xi｜，｜x｜=√x21+x22+…+x2m；Zm为Rm的整数格点，其中v=(v1，v2，…，vm)∈Zm，v·x=v1x1+v2x2+…+vmxm是v与x的内积.对于L2(Rm)中的任意函数f，其范数是如下定义的：‖f‖L2={∫Rm｜f(x)|2dx}1/2.本节中用S表示Rm中凸的、闭的、中心对称的且包含原点的邻域的集合，且其具有光滑的边界Ω.我们用p(t)=inf{λ：t∈λS}表示S上的Minkowski泛函；RS={x∈Rm：x/R∈S}是S的相似形.定义f∈L2(Rm)在S上的连续模如下：ω(f；δ，p)=supp(t)≤δ‖△tf‖L2=supp(t)≤δ‖f(·+t)-f(·)‖L2.用W2σ表示σ指数型整函数且限制在Rm上平方可积的函数集合(定义见[15]).我们用Eσ(f)L2表示f(x)∈L2(Rm)在L2(Rm)尺度下，用指数型整函数W2σ作逼近的最佳逼近，即Eσ(f)L2=infgσ∈W2σ-‖f-gσ‖L2·在这一节中，我们将考虑Eσ(f)L2和f∈L2(Rm)的连续模之间的关系.要证明本节的主要结果，我们需要用到满足以下条件的算子，-△u=λu，u｜Ω=0，△u∈L2(S)，其中△=m∑k=1()2/()xk2是Laplace算子.这个微分算子有可数个特征值，记为λk(S)，则λk(S)＞0(见[19],第261页).我们只取第一个特征值λ1(S)，它所对应的特征向量是u1(x).记λ1(S)为λ1.
这一节的主要结果是：定理0.4.对于任意的f∈L2(Rm)，满足f≠const，及σ＞√λ1Cs/π，我们有supf∈L2(Rm)f(≠)constEσ(f)L2/ω(f；√λ1/σ,p)=1/√2,其中Cs=max{｜x｜：x∈S}.