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众所周知，有限单群是构成有限群的基石，因此利用较为直观和浅显的性质来刻画有限单群，对于我们深入了解它们的性质和结构是大有裨益的.在本文中，我们主要考虑以下数量刻画问题：利用素图拟刻画有限单群；用群阶和元素的最高阶刻画有限单群；用同阶元长度的集合刻画有限单群.本文的研究与施武杰在1987年提出的关于有限单群纯数量刻画的猜想(见[41])以及Thompson问题(见[32])密切相关.
本文共分四章，主要有以下内容：
第一章介绍本文常用的符号和基本概念.
第二章利用素图研究有限单群和非单群，证明了以下结果：
定理A G2(q)(q=32n+1)是素图拟可刻画的.
定理B2B2(q)(q=22n+1>2)是素图拟可刻画的.
定理C E7(q)(q=2，3)是素图拟可刻画的.
定理D对称群Sp(p是素数)可由其群阶和素图决定.
第三章用群阶和元素的最高阶刻画有限单群，证明了以下结果：
定理E设G是有限群，H是单K3-群，k(G)表示G的元素的最高阶，我们有下列情形成立：
(1)如果日H()L2(7)，U4(2)，那么|G|=|H|，k(G)=k(日)当且仅当G≌H.
(2)如果H≌L2(7)，那么|G|=|L2(7)|，k(G)=k(L2(7))当且仅当G≌L2(7)或者G是一个2-Frobenius群，此时，G≌Z3[Z7[P]]，P()G，G/P≌Z3[Z7]，P是阶为23的初等交换群，πe(G)={1，2，3，6，7)，这里πe(G)表示G的元素的阶的集合.
(3)如果H≌U4(2)，那么|G|=|U4(2)|，k(G)=k(U4(2))，k1(G)=k1(U4(2))当且仅当G≌U4(2)，这里k1(G)表示G的元素的次高阶.
定理F|G|=|L2(p)|，k(G)=k(L2(p))当且仅当G≌L2(p)，p=8n±3>3是素数，n是自然数.
第四章考虑用同阶元长度的集合来刻画有限单群，证明了以下结果：
定理G L2(2n)(n=4，5，7)可由其同阶元长度的集合决定.