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本文考虑三个方面的问题：单形上Bernstein-Durrmeyer算子的逼近；球面上连续模的等价性；球面、球体和单形上的加权Sobolev类的Kolmogorov宽度、线性宽度及Gelfand宽度的渐进阶的刻画。根据相对应的问题，文章分三章讨论。
第一章研究单形上Bernstein-Durrmeyer算子的逼近。
1967年，J.L.Durrmeyer首次引入了这种新的Bernstein型算子。他在[34]中给出了这种算子一维不加权的定义。随后，对于此一维不加权的算子，Derriennic[21]在1981年给出了其收敛性的刻画，Ditzian和Ivanovf31]在1989年给出了其逼近速度与被逼近函数的Ditzian-Totik连续模的关系。Berens和徐源[5，6]则考虑了[0，1]上加Jacobi权的Bernstein-Durrmeyer算子的性质，并刻画了其逼近性质。
1985年，Derriennic[20]把Bernstein-Durrmeyer算子推广到了多元的情况，给出了其正性、自伴性、可交换性和收敛性的描述。1992年，Berens、Schmid和徐源[4]刻画了多元不加权的Bcrnstein-Durrmeyer算子逼近性与Ditzian-Totik K-泛函的关系。具体说来如下。这里表示单形Td上加Wk权的Lp-范数。对于不加权的情况，即我们省略下标K。
为方便行文，本文中用字母c表示绝对常数或依赖参数d，p，q，k的常数，在不同的地方可以用来表示不同的值。用A～B表示存在一个不依赖于A和B的正常数，使得并且猜测(2)对于所有的10，而非仅是p≥1([26])。另一方面，因为(I- Sθ)可以看成是乘子算子，所以利用证明Jackson型不等式之类的结论比用容易得多。
下述定理是第二章的主要结论，给出了的等价性。
定理4设1< p<∞，r∈N，τ∈(0，π2)。那么Vf∈Lp(Sd-1)有
Ditzian在(23]中给出了定理4在r为偶数的证明，但是其证明通不过。值得注意的是，定理4对p=l和p=∞并不成立，具体反例可以参见[23]。
定理4的证明基于如下三个结论。在叙述这些结论之前，我们先交待一些必需的记号。
给定f∈C1(Sd-1)，定义其切向梯度为Laplace-Beltrami算子。在第二章的2.2节中我们得到如下的球面上切向梯度的等价性定理。
记M为具有如下形式的d×d矩阵的全体，其中Yk表示f在次数为k的球调和空间上的投影。借助于M中的元，我们在2.3节得到连续模ωγ(f，t)p的实现。
根据球面Sd-1的d为偶数或者奇数，定义Mo为具有如下形式的d×d矩阵，设θ∈R，定义其中dQ是SO(d)上规范化的Haar测度。给定一正整数τ，定义在2.4节我们得到如下的强反向不等式(在[30]的意义下)：
定理7设。那么对于0<θ≤务有
如果用C(Sd-1)代替L∞(Sd-1)空间，定理6和定理7仍然成立。对于d是偶数的情况，定理7包含在[16，Theorem4.1]中。
第三章研究加Jacobi权Sobolev类宽度的渐进阶。
宽度问题是逼近论的重要问题之一。宽度问题的研究始于1936年A.N.Kolmogorov的开创性工作。上个世纪30到70年代，在Kolmogorov[45]、Stechkin[59]、Tikhomirov[2,63]、Babadzhanov[2]、Ismagilov[39]、Gluskin[37]、Kashin[43]等学者卓越的工作中，一维周期情形，Lq空间中Sobolev类BWpr的Kolmogorov n-宽度dn(BWprp，Lq)渐进阶的估计得到了完美地解决。随后几年，一维三角线性n-宽度δn(BWprp，Lq)的渐进阶也由Makovoz[51]、Maiorov[50]和Bclinskii[3]给出。至于多维球面上宽度的问题，始于Kamzolov[40，41,42,1982-1989]对Kolmogorov n-宽度的研究，之后十余年一直没有进展，直到戴峰、Brown和孙永生[8，9，13，2002-2005]突破性的工作，才彻底解决了多维球面上dn(B Wprp，Lq)和δn(BWpr，Lq)渐进阶的问题。
在第三章中，我们的目的是把关于Kolmogorov n-宽度、线性n-宽度和Gelfandn-宽度渐进阶估计的已知结果推广到球面、球体和单形的加权Sobolev类上。