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1973年,Bismut在研究随机最优控制(SOC)问题时,将线性倒向随机微分方程(BSDEs)作为其对偶方程首次提出.随后,大量学者参与到了 BSDEs问题的研究中,1990年,Pardoux和Peng[30]首次证明了非线性BSDEs解的存在唯一性;Peng[29]于1991年得出了非线性Feynman-Kac公式,实现了 BSDEs和一类二阶拟线性抛物型偏微分方程系统的概率互推;此后,关于正倒向随机微分方程(FBSDEs)的研究在许多领域被广泛开展,例如金融数学,偏微分方程(PDEs),随机偏微分方程(SPDEs)和平均场正倒向随机微分方程(MFBSDEs)等.由于FBSDEs解的结构十分复杂,只有极少数的方程可以通过解析的方法得到显式解,因此,FBSDEs数值算法的研究在实际问题的应用中有着重要意义.本文主要研究求解非耦合FBSDEs的高阶单步法.基于非线性Feynman-Kac公式,结合Ito-Taylor展开和近似导数的有限差分方法,首先提出了求解非耦合FBSDEs的显式三阶单步格式.基于三阶格式,利用预估矫正的思想,进一步提出了求解FBSDEs的显式四阶单步格式.数值实验表明所提数值方法的精度依赖于求解随机微分方程(SDEs)的数值方法的精度.此外,运用同样的思想,基于四阶格式,提出了求解BSDEs的显式五阶单步格式,并进一步利用五阶单步格式提出了求解BSDEs的显式六阶单步格式.通过对所提数值方法进行大量的数值实验,验证了所提方法的稳定性和收敛性.论文的主要贡献及创新1.提出了求解非耦合FBSDEs的显式高阶单步法,包括三阶单步格式和四阶单步格式.在应用多步法求解非耦合FBSDEs时,可首先利用所提方法对方程进行初步求解,为多步法提供所需的初值.2.在求解非耦合FBSDEs显式高阶单步法的基础上,提出了求解BSDEs的显式高阶单步法,包括五阶单步格式和六阶单步格式.论文的主要内容和结果第一章.引言介绍本文的研究背景,包括BSDEs和FBSDEs在理论研究和数值计算方面的发展进程,梳理了文章整体脉络和写作思路.第二章.预备知识介绍了与研究相关的预备知识,包括随机过程和条件期望;随机微分方程(SDEs);SDEs的Ito-Taylor展开;回顾了 SDEs的五种数值解法,即一阶收敛的Eular格式和Milstein格式,二阶收敛的弱二阶Ito-Taylor格式,三阶收敛的弱三阶Ito-Taylor格式以及四阶收敛的弱四阶Ito-Taylor格式;复习了非耦合FBSDEs和有限差分近似等预备知识.第三章.正倒向随机微分方程的高阶单步格式本章是本文的主要研究成果,结合Feynman-Ka.c公式,Ito-Taylor展开和有限差分近似等方法,首先得到求解非耦合FBSDEs的显式三阶单步格式.格式0.1.假设随机变量Yn已知,对于n=N-1,...,0,通过下列格式求解Y=Yn(Xn)和Zn=Zn(Xn)Y1n=Etnx[Yn+1]+ΔtnEtnx[fn+1,h],Yn=Etnx[Yn+11]+1/2Δtnfn,h,1+1/2Δtnx[fn+1,h],Yn=Etnx[Yn+1]+θΔtnfn,h+(1-θ)ΔtnEtnx[fn+1,h]+3θ-1/6(Δtn)2Fn,h+3θ-2/6(Δtn)2Etnx[Fn+1,h]Zn=Dh0Ynσ(tn,Xn).将上述格式作为预估,得到求解非耦合FBSDEs的显式四阶单步格式.格式0.2.假设随机变量YN已知,对于n=N—1,...,0,通过下列格式求解Yn=Yn(Xn)和Zn=Zn(Xn)Y1n=Etnx[Yn+1]+ΔtnEtnx[fn+1,h],Y2n=Etnx[Yn+1]+ΔtnΔtnfn,h,1+1/2ΔtnEtnx[fn+1,h],Yn=Etnx[Ynn+1]+θΔtnn,h,2+(1-θ)ΔtnEtnx[fn+1,h]+3θ-1/6(Δtn)2Fn,h,2+3θ-2/6(Δtn)2Etnx[Fn+1,h],Yn=Etnx[Yn+1]+1/2Δtnfn,h+1/2ΔtnEtnx[fn+1,h]+1/12(Δtn)Fn,h-1/12(Atn)2Etnx[Fn+1,h],Zn=Dh0Ynσ(tn,Xn).在求解非耦合FBSDEs单步高阶方法的基础上,进一步展开离散方程,首先得到求解BSDEs的显式四阶单步格式格式0.3.假设随机变量YN已知,对于n=N-1,...,0,通过下列格式求解Yn=Yn(Wn)和Zn=Zn(Wn)Y1n=Etnx[Yn+1]+ΔtnEtnx[fn+1,h],Y2n=Etnx[Yn+1]+1/2Δtnfn,h,1+1/2ΔtnEtnx[fn+1,h],Yn=Etnx[Yn+1]+θ1Δtnfn,h,2+(1-θ1)ΔtnEtnx[fn+1,h]+3θ1-1/6(Δtn)2Fn,h,2+3θ1-2/6(Δtn)2Etnx[Fn+1,h],Yn=Etnx[Yn+1]+θ2Δtnfn,h+(1-θ2)ΔtnEtnx[fn+1,h]+8θ2-3/12(Δtn)2Fn,h+Aθ2-3/12(Δtn)2Etnx[Fn+1,h]+2θ2-1/12(Δtn)3Gn,h,Zn=Dh1Yn.将四阶格式作为预估,得到求解BSDEs的显式五阶单步格式格式0.4.假设随机变量YN已知,对于n=N-1,...,0,通过下列格式求解Yn=Yn(Wn)和Zn=Zn(Wn)Y1n=Etnx[Yn+1]+ΔtnExtn[fn+1,h],Y2n=Etnx[Yn+1]+1/2三Δtnfn,h,1+1/2ΔtnEtnx[fn+1,h],Y3n=Etnx[Yn+1]+θ1Δtnfn,h,2+(1-θ1)ΔtnEtnx[fn+1,h]+3θ1-1/6(Δtn)2Fn.h,2+3θ1-2/6(Δtn)2Etnx[Fn+1,h],Yn=Etnx[Yn+1]+θ2Δtnfn,h,3+(1-θ2)ΔtnExtn[fn+1,h]+8θ2-3/12(Δtn)2Fn,h,3+4θ2-3/12(Δtn)2Etnx[Fn+1,h]+2θ2-1/12(Δtn)3Gn,h,3,Yn=Etnx[Yn+1]+θ3Δtnfn,h+(1-θ3)AtnEtnx[fn+1,h]+0θ3(Δtn)2Fn,h+10θ3-7/20(Δtn):Etnx[Fn+1,h]+5θ3-2/60(Δtn)3Gn,h+-5θ3+3/60(Δtn)3Etxn[Gn+1,h],Zn=Dh1Yn.最后将五阶格式作为预估,得到求解BSDEs显式六阶单步格式格式0.5.假设随机变量YN已知,对于n=N-1,...,0,通过下列格式求解Yn=Yn(Wn)和Zn=Zn(Wn)Y1n=Etnx[Ym+1]+ΔtnEtnx[fn+1,h]Y2n=Etnx[Yn+1]+1/2Δtnfn,h,1+1/2Δtnfn,h,1+1/2ΔtnEtnx[fn+1,h],Y3n=Etnx[Yn+1]+θ1Δtnfn,h,2+(1-θ1)ΔtnEtnx[fn+1,h]+3θ1-1/6(Δt)2Fn,h,2+3θ1-2/6(Δtn)2Etnx[Fn+1,h],Y4n=Etnx[Yn+1]+θ2Δtnfn,h,3+(1-θ2)ΔtnEtn[fn+1,h]+8θ2-3/12(Δtn)2Fn,h,3+4θ-3/12(Δtn)2Etnx[Fn+1,h]+2θ2-1/12(Δtn)3Gn,h,3,Yn=Etnx[Yn+1]+θ3Δtnfn,h,4+(1-θ3)ΔtnEtnx[fn+1,h]+10θ3-3/20(Δtn)2Fn,h,4+10θ3-7/(Δtn)2Etnx[Fn+1,h]+5θ3-2/60(Δtn)3Gn,h,4+-5θ3+3/(Δtn)3Etnx[Gn+1,h],Yn＝Etnx[Yn+1]+1/2Δtnr,h+1/2ΔtnEtnx[fn+1,h]+10(Δtn)2Fn,h-1/10(Δtn)2Etn[Fm+1,h]+1/120(Δtn)3Gn,h+1/120(Δtn)3Etn[Gn+1,h],Zn=D1hYn.第四章.数值实验选取多个算例,设置参数并运用第三章提出的数值格式对其进行数值求解,分析和总结数值实验结果,验证了所提方法的收敛性和稳定性,其最终结果与预期相同.第五章.总结与展望总结和回顾本文的主要内容,包括求解FBSDEs的显式三阶格式和显式四阶格式,以及求解BSDEs的显式四阶、五阶和六阶格式.分析格式在应用中的优势;反思在研究中出现的问题和处理不当之处,积极寻求和展望解决这些问题的有效方法,明确今后的研究方向.