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变系数模型(Ｖarying-coefficient Models)是经典线性模型的一个有用扩展。自Cleveland,Grosse,和Shyu[12]与Hastie,Tibshirani[18]首次提出至今,己在国内外产生了较深刻的影响。变系数模型在理论上已得到了较深入的研究,实践上也被广泛地应用于生物、医学等方面,但由于它在实践应用中的可行性较差,因此为了能够在实践中应用它,许多学者根据不同情况对其作了处理。
在实际中通常假设预报向量Ｕ是可观测的,但在很多实验中,要观测Ｕ是很昂贵的,或者根本就无法观测到,因此需要用一个可观测的变量Z来代替Ｕ,在这种情形下,如果变量Z能被测量出,那么实际预报向量Ｕ随着Z随机可变,并且Ｕ-Ｚ均值为零。对于上述所谈到的关于这种测量误差的模型我们称之为Berkson模型(参见Fuller[17]):
U=Z+η这里η为不可观测的随机测量误差,即Berkson测量误差,它被假设是独立于可观测的预报变量Z的。考虑到这种误差在实际中不可忽视,因此,将变系数模型和Berkson模型加以结合就更接近实际,并且具有很好的理论意义和实际应用意义。这就提出了一个新的研究方向:带Berkson测量误差的变系数模型。
本文讨论如下带Berkson测量误差的变系数模型:
Y=αT(u)x+ε,
U=Z+η,其中x=(x1,…,Xp)T,α(U)=(α1(U),…,αp(U))T,ε和η是随机误差且Eε=0,Eη=0,Vαγ(ε)=σ2,α(·)是具有相同光滑程度的未知函数,Z是可观测的d-维可控变量,这三个变量ε,η,Z假设是相互独立的,同时变量X与Z是相互独立的。
对于该模型,我们感兴趣的是如下的两个检验问题:
1.H*0:α(·)=αθ(·),αθ(·)是参数θ∈()()Rp未知的可识别函数,
H*1:H0非真:
2.H0:α(·)=α,α为常量,
H1:H0非真。
对于这两个问题,我们用广义似然比方法[25]和经验似然方法[34]对变形后的模型进行了检验,我们得出:在零假设成立的条件下,基于某种非参估计的广义似然比统计量是服从渐近x2-分布的。同样,经验似然方法也有在零假设成立的条件下得到渐近x2-分布的优点。根据渐近结果我们给出了相应的置性区间或置信域。