【摘 要】
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现实世界普遍地伴随着不确定因素的影响,而事物在噪声干扰下的发展和规律可由随机微分方程准确地刻画。Brown运动被普遍地用来模拟随机因素。然而,大量事实表明,如在基因的表达调控等复杂系统中,存在具有突发、间歇和不可预测等特性的行为,而Lévy过程是描述此类non-Gauss现象最有效的途径之一。同时,物理空间中往往要求平稳过程具有有限方差,而Lévy过程不存在二阶矩,因此需要缓和效应来捕获此类特性。
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现实世界普遍地伴随着不确定因素的影响,而事物在噪声干扰下的发展和规律可由随机微分方程准确地刻画。Brown运动被普遍地用来模拟随机因素。然而,大量事实表明,如在基因的表达调控等复杂系统中,存在具有突发、间歇和不可预测等特性的行为,而Lévy过程是描述此类non-Gauss现象最有效的途径之一。同时,物理空间中往往要求平稳过程具有有限方差,而Lévy过程不存在二阶矩,因此需要缓和效应来捕获此类特性。平均首次退出时间（MFET）和首次逃逸概率（FEP）是刻画随机多稳态系统状态切换的有效工具。本学位论文主要研究Brown运动和缓和型非对称-稳定Lévy过程驱动的随机微分方程的状态切换问题。具体如下:第一章,简述了本学位论文的研究背景和意义、Brown运动和Lévy过程的概念和性质,以及国内外进展。第二章,介绍了MFET和FEP的定义,指出它们满足某类非局部椭圆方程,并说明非局部项是此类方程解的解析表达式难以获得的原因。随后,给出了此类方程一般形式的高维数值算法及差分方程。特别地,给出了一维情形下差分方程系数矩阵的三对角矩阵与Toeplitz矩阵分解。第三章,将所得数值算法应用到一维双稳态基因调控网络中,定性分析相应的MFET和FEP,研究了状态切换对噪声强度、Lévy过程的稳定指标、偏斜参数和缓和指标的依赖性。结果表明,Brown运动和Lévy过程均能诱导系统在有限时间内以特定概率发生相邻区域的切换;Brown运动无法诱导不相邻区域的切换,此类切换可由Lévy过程诱导;非对称Lévy过程有利于切换方向与偏斜方向相同的系统切换。第四章,考虑了一个具有混沌吸引子和稳定平衡点共存的三维双稳态混沌系统。通过研究混沌吸引子中距离稳定点最近及最远的点的MFET和FEP,分析了系统在具有不规则拓扑结构的混沌吸引子与规则的稳定平衡点之间的切换。结果表明,从混沌吸引子到稳定平衡点的切换依赖于初始位置;在相同的噪声参数下,最近点有着比最远点更短的MFET和更大的FEP。最后,总结了本学位论文的研究内容和主要结论,指出不足并提出下一步研究目标。
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