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本文主要研究了几种与调和函数有关的平方平均，包括调和函数本身以及调和函数的梯度的模在球面和球上的平方平均等.固定一个定义在全空间上的调和函数，上述平方平均可视为球面或球的半径的函数.这样的函数能够偶延拓到整个实数域上，于是可以通过它们的Taylor展开来研究对应的平方平均的局部性质.本文借助调和函数，特别是球面上调和多项式的经典理论，详细推导了此类函数的Taylor展开，同时得到了Taylor展开的收敛性.论文的第一部分重点叙述了齐次调和多项式的相关结论,为之后的积分计算公式做好准备.第二部分扼要介绍zonal调和函数(zonalharmonics)以及Poisson核的多项式分解理论，进一步获得调和函数的实解析性，为后续工作提供理论依据.第三部分利用此前综述的结论首先推导由调和函数在球面上的平方平均定义的函数的Taylor展开，进而运用类似的方法以及函数间的转化关系导出其他的Taylor展开.这些Taylor展开蕴涵了函数很好的性质，可能为调和函数，尤其是与调和函数的频率(frequency)有关的研究提供一个新的视角.最后一部分简要讨论了几个相关的具体问题.