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量子力学的数学框架被公认是Hilbert空间上的线性算符理论。但是在过去的文献中更多地受到重视的是它的代数侧面。我们讨论的是Hilbert空间上的线性算符理论的分析侧面。
在第一章介绍了赋范线性空间，Banach空间，内积空间和Hilbert空间的概念。主要是赋予了向量以范数，使我们有可能讨论向量序列的极限。在第一章中我们还介绍了由内积空间A到内积空间X的线性映射构成的线性空间Λ(A；X)，定义了线性映射J，K∈Λ(A；X)的厄米共轭J+∈Λ(X；A)，定义了两个线性映射J，K∈Λ(A；X)的内积。讨论了内积空间Λ(A；X)的结构。
第二章把数学家建立的Banach空间上的分析移植到量子物理中的算符函数上。由于算符函数各阶导函数值是各类超算符，我们系统地建立了超算符的理论。利用它我们成功地表达出算符函数的各阶导数。算符函数的Taylor展开表明，以复数为系数的自变量X(是线性算符)的幂级数，只是“解析的”算符函数的很小的一部分。
超算符理论不仅对非对易分析是必要的代数准备。超算符概念本身在量子物理，群论与李代数中也有重要的应用。我们在第三章用例子证明了这一点。