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经典的It(o)公式(1944)需要函数的两次可微，它在随机分析及其应用，以及与分析，偏微分方程，几何，动力系统，金融和物理的几乎所有的应用和联系中都起到了核心的作用。但是It(o)公式对于函数需要二次可微的限制在应用中通常会遇到一些困难。所以把它扩展到不是很光滑的函数在研究很多问题如有奇异点偏微分方程及金融数学中都是很有用的。一般来说，对于任意的绝对连续的函数它的导数f几乎处处存在，和一个连续的半鞅，存在At使得f(Xt)=f(X0)+∫t0f(Xs)dXs+At(0.1)
对于含时间的情形相应的公式是f(t，Xt)=f(0，X0)+∫t0()/()sf(s，Xs)ds+∫t0▽f(s，Xs)dXs+At.(0.2)
在上述两种情形下寻找At，尤其是轨道意义的公式是建立扩展的It(o)公式的关键。实际上，从Tanaka[46]就已经开始这方面的研究，他很漂亮的运用了Lévy[29]引入的局部时，人们称这个公式为Tanaka公式。Meyer[36]给出了一般的一维不含时间的凸函数的It(o)公式，至于Brosamler[5]研究了多维的超调和函数，Kendall[26]是对距离函数的，最近对于依赖于时间的函数在Peskir[39]以及Elworthy,TrumanandZhao[7]中都有研究。特别指出的是Meyer[36]以及Elworthy-Truman-Zhao[7]分别证明了：
(Tanaka-Meyer(1976))令f：R→R是一个凸函数(或是两个凸函数的差)，μ是二阶导数测度，定义为μ([a，b))：=▽-f(b)-▽-f(a)，-∞＜a＜b＜∞。那么f(Xt)=f(X0)+∫t0▽-f(Xs)dXs+∫∞-∞Lt(x)μ(dx)a.s，(0.3)
其中▽-f(x)是有界变差并且∫∞-∞Lt(x)μ(dx)是Lebesgue-Stieltjes积分，相应的测度是μ(dx).Ltx是半鞅Xt在x点的局部时。
(Elworthy-Truman-Zhao[7])令X=(Xs)s≥0是一个连续的半鞅，f：[0，∞)×R→R满足
(i)f关于t，x分别绝对连续，(ii)左导数()-/()tf和▽-f在所有的(0，∞)×Rand[0，∞)×R上的点存在，(iii)()/()tf和▽-f左连续并且局部有界，
(iv)▽-f(t，x)关于(t，x)局部有界变差，▽-f(0，x)关于x局部有界，那么f(t，X(t))-f(0，X(0))=∫t0()/()sf(s,X(s))ds+∫t0▽-f(s,X(s))dXs。+∫∞-∞Lt(x)dx▽-f(t,x)-∫+∞-∞∫t0Ls(x)ds,x▽-f(s,x)a.s..(0.4)
其中∫+∞-∞∫t0Ls(x)ds,x▽-f(s，x)是一个关于时间-空间两参数的Lebesgue-Stieltjes积分且是按轨道定义的.
至于局部时Lxt的关于x的变差，在Revuz和Yor的书[41]中第六章，(定理1.21)：假设(△n)是[a,b]的一列子分割并且满足当n→∞，|△n|→0，因此对于任意非负有限的随机变量S，limn→∞∑△n(LSai+1-LSai)2=4∫baLSsdx+∑a＜x≤b(LxS-Lx-S)2＜∞，(0.5)
等号成立是在依概率的意义下.
然而我们需要的是经典意义下的变差，因此上面的结论对于我们来说还不够用。
在本博士论文中，我研究了局部时的变差、局部时的Young积分、Lyons的粗路径的积分、两参数的Young积分、随机Lebesgue-Stieltjes积分，从而得到了新的一类It(o)公式以及Tanaka-Meyer和Elworthy-Truman-Zhao公式在很弱的条件下仍然成立。