【摘 要】
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这篇博士后出站报告中主要讨论七个问题。 (1)在Ricci流理论中我们引入了Bakry-Emery曲率算子的一些技巧，证明了关于Bakry-Emery数量曲率的提升方程．作为它的应用，我们很容易
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这篇博士后出站报告中主要讨论七个问题。
(1)在Ricci流理论中我们引入了Bakry-Emery曲率算子的一些技巧，证明了关于Bakry-Emery数量曲率的提升方程．作为它的应用，我们很容易地推导出Perelman能量泛函的单调性公式，同时我们还讨论了一些关于Ricci曲率的梯度估计和数量曲率的L<2>估计．
(2)对任意带有非负的Baby*Emery的Ricci曲率且完备的流形上，我们证明了L-调和函数的梯度估计，并且利用它推导出关于L-调和函数局部的Harnack不等式以及一些关于正的或有界的L-调和函数的刘维尔性质．
(3)主要是讨论非紧流形上抛物型Schrodinger方程解的椭圆型梯度估计，并且利用它来证明Schrodinger方程解与维数无关的Harnack不等式以及刘维尔型定理．
(4)我们证明了Li-Yau抛物不等式的局部指数形式，它是Rkci曲率有负下界且完备的流形上热方程解的梯度估计的局部形式．同时我们还利用这个结果证明了热方程解局部的Hanarck不等式和热核的局部高斯型下界估计．
(5)我们证明了Ricci曲率有负下界且完备的无边界流形上Schrodinger方程解的局部梯度估计，同时我们还利用这个结果证明了Schrodinger方程解局部的Hanarck~等式和热核的局部高斯型下界估计．
(6)设M为Ricci曲率有负下界-K且完备的无边界的n维流形，如果B为M上的向量场使得|B|≤γ且▽B≤K<,*<，这里γ为非负常数，K<,*>为实的常数，那么方程△u+Bu=0任意正的解满足如下最优的梯度估计：|▽u|<2>/u<2>≤m(K+K<,*>)+mγ<2>/m-n其中m>n为任意实的常数．
(7)利用两种不同的方法讨论了带权流形上热方程和Schrodinger方程解的Harnack估计．我们先利用最大模原理证明热方程解的梯度估计，从而得到解的：Harnack估计；另外我们利用算子半群的方法证明位势函数为常数的Schrrodinger方程解的Hamack估计．
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