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超导电性自1911年被发现之初，就以其零电阻率、完全抗磁性等奇特的性质吸引了全球范围内研究者的注意，对它的研究涉及凝聚态、低温、材料、应用等领域，高潮迭起，经久不衰。对超导机理的研究是凝聚态物理的核心问题之一。在高温超导被发现以前，Bardeen、Cooper和Schrieffer共同提出的BCS超导理论几乎可以解释实验观测到的所有的超导体的特性，并成功地预测了一大批实验现象。在BCS超导理论的框架之下，超导体的超导转变温度具有上限，即所谓的麦克米兰极限。1986年发现的铜氧化物超导体打破了这一传统观念，超导转变温度很快超过麦克米兰极限，到达液氮区域，且其中的一系列物理现象也绝非BCS超导理论可以描述的。这一发现促使科研工作者们开始重新寻找高温超导的超导机制。2008年铁基高温超导体被发现，它与铜氧化物超导体具有相似的相图但是多轨道体系，使得这一问题更具挑战性。这些不能用BCS理论解释的超导体被称为非常规超导，关于非常规超导的超导机制大家众说纷纭，至今依然没有定论，寻求新的路径进行这一研究十分有必要。 另一方面，基于量子霍尔效应提出的拓扑态的概念引起了广泛的关注，在理论上预言并被实验证实的非平庸的拓扑材料将这一研究方向推向高潮。拓扑相被发现可以广泛存在于绝缘体、金属甚至超导体中，实验发现的拓扑材料体系也从二维扩展到到了三维。非平庸拓扑的一个重要的性质是存在有对称性保护的无能隙的边界态或者表面态。 本论文的研究主要包括三部分:第一部分是提出了一种同时包含铜氧化物超导体中的CuO2导电层和铁基超导体中的Fe2X2(X=As，Se)导电层的混合结构，第二部分是对出现在一种没有中心反演对称的材料中的非平庸的拓扑相进行了研究，第三部分是对新近发现的铁基超导材料(Li08Fe02)OHFeSe的电子性质、磁性质以及拓扑性质的研究。 铜氧化物超导体和铁基超导体是两类非常重要的非常规超导体，值得注意的是虽然这两类超导体在磁性、配对对称性等物理特性上有许多差异性，但它们在一些方面也具有许多的共同点:(i)二者结构类似，具有准二维的结构;(ii)二者相图类似，都是磁有序态被抑制后出现超导体。所有的铜氧化物超导体有一个相同的二维CuO2结构单元，所有的铁基超导体也均具有一个基本的Fe2X2(X=As，Se)层状结构单元，这两种结构单元分别是这两类超导体超导电性的起源。基于实验上已经合成的一类结构，它同时具有与CuO2层和Fe2X2层类似的结构，作了部分的原子替换，得到了两种新的材料Ba2CuO2Fe2As2和K2CuO2Fe2Se2，实现了在一种化合物中同时具有CuO2层和Fe2X2层的构想。用第一性原理计算确定了它们的稳定性和在实验上实现的可能。通过对费米面、态密度和电子结构的计算，发现它们同时具有铜氧化物超导体和铁基超导体的物理特性。这一发现是十分具有鼓舞性的，表明它们极有可能具有超导电性。通过掺杂或者加外压的手段，可以在两种导电层中同时出现超导，两者配对对称性的竞争可能会产生一系列新的物理现象，为非常规超导机制的研究提供一种不一样的途径。 第二部分，通过第一性原理计算研究了一类中心反演对称破缺的材料NaSnX(X=As，Sb，Bi)，发现NaSnBi具有三维的非平庸的拓扑性质。通过瓦尼尔心(wannier charge center)的计算，确定了它是一个强拓扑绝缘体，Z2拓扑数是1;(000)。建立了Γ点附近的有效k·p模型，发现NaSnBi的拓扑性质和哈密顿量中k的五次方项有关，只要它们的系数不为零，就会导致能带的微小的各向异性。NaSnBi中拓扑相变来自奇数对k点的能隙闭合。还发现，同一个方向表面原子不同时对应的表面态有很大的不同，其中一个表面态费米面上的自旋构型是右手螺旋的，这与常规的拓扑绝缘体有很大差别。NaSnBi的体态是金属性的，因此有可能在其中发现超导，如果能实现，则有机会观测到拓扑超导。 另外，对新近发现的(Li0.8Fe0.2)OHFeSe超导体进行了计算。研究发现它的电子结构和FeSe非常类似，费米面由Γ点附近的三个空穴型费米“口袋”和M点附近的两个电子型费米“口袋”构成，它的基态在FeSe层内具有和铁磷族超导体相同的共线型反铁磁序。进一步的计算发现该体系在Γ点具有自然的能带反转的结构，具有非平庸的拓扑性质，有实现拓扑超导的潜力。