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边界元法是在经典的边界积分方程的基础上，吸收了有限元法的离散技术而发展起来的计算方法。由于具有降维、计算量小和高精度的优势，使其成为有限元法的重要补充。然而，自诞生之日起，边界元法一直存在边界层效应、角点问题和非线性求解问题的困扰，大大影响了其在工程实践中的广泛应用。本文主要针对上述三个方面展开深入的理论研究。虽然本文的研究是基于线性单元的平面问题展开的，但所提出的研究方法很容易推广到三维问题。
本文的主要研究工作如下(其中一、二、四是本文的创新点)：
一、边界元法分析中若计算边界区域附近内点物理量时，由于近奇异积分的存在引起“边界层效应”致使计算结果不准确甚至失真，因此准确计算近奇异积分具有重要的意义。鉴于此，本文提出一种解决近奇异积分的解析化方法。对于平面问题，以源点作为原点，以所积分单元的切向和法向为坐标轴建立局部坐标系，对于线性单元可以得到所有积分的解析解。基于除节点外的所有边界点的场变量在边界上连续且有界的特点，所有在边界上引起场变量奇异的项之和必为零，故对于边界上的点(除单元节点)可以直接在解析解中删除这些奇异项即可。对常规问题的“边界层效应”问题，该解析方法有效精确的计算了近边界内点的物理量，包括位移及应力。
二、角点问题是边界元方法中不容忽视的一个重要问题。数值试验表明，若对角点不加处理，则在角点附近的计算结果是不能令人满意的，因此如何有效、简便的解决角点效应一直是科研工作者关心的问题。在考虑角点位移连续而面力不连续的基础上，根据角点的边界条件的分类，针对补充方程不足的情况，提出一种新的方法——虚节点法。该方法通过在角点所在的单元(前单元或后单元)中补充一虚节点并建立相应的边界积分方程，将该点的场变量用所在单元节点的场变量插值替换，从而使系统可解。虚节点法仅利用了边界单元的线性插值性质，与材料性质、角点的场变量状态均无关系，而且公式推导比较方便，容易实现程序化。最后通过数值算例证明了虚节点法的计算精度。
三、非线性项域积分是弹塑性边界元分析中不可避免的。为了保留边界元法仅离散边界的优势，本文详细介绍了一种将域积分转化为边界积分的方法——径向积分法。对于内部点应力方程中出项的强奇异积分，可以将其转化为一个弱奇异积分和一个强奇异积分之和。在此基础上，转化后的强奇异积分可以解析化地转换为边界积分。其他所有涉及到初应力的弱奇异积分在通过扩展的径向基函数插值后使用径向积分法转化为边界积分。因为该方法是纯粹的数学坐标转换，所以可将任意的域积分进行边界化，适用性比较广。
四、在非线性项域积分边界化的基础上，引入数学领域前沿的互补理论，构造了弹塑性边界元的方程组法。该方法以插值点的应力方程和与塑性本构方程等价的互补函数构成非线性方程组进行迭代求解。该方法理论推导简便，概念清楚，具有较高的计算精度，并且避免了反复的试算过程。
五、将上述研究成果应用于岩土工程问题经典问题之一——边坡稳定分析，即潜在滑面的确定和安全系数的计算。首先基于滑移线理论进行了潜在滑面的追踪，将追踪的滑面和基于有限元法的塑性应变进行分析，并和极限平衡法进行了对比；然后对均质和具有软弱夹层的两类边坡进行了矢量和安全系数的计算，并和基于有限元的矢量和法安全系数及极限平衡法(M-P)的结果进行了比较，讨论了边界单元长度对安全系数的影响。最后将基于边界元的矢量和安全系数法用于某高速公路边坡工程的计算。