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下限原理有限元法是在极限分析的基础上，结合有限元和数学规划而发展起来的一种求解极限状态的计算方法。该方法具有理论严谨、偏于安全、适用性广等很多优势。然而，自其诞生之日起，就存在构造静力许可场、线性规划模型庞大等方面的困扰，大大影响了其在工程实践中的应用。本文主要针对上述问题展开研究。
本文主要的研究工作如下:
一、对传统的下限原理有限元法进行了深入分析，编制经典的下限原理有限元程序，并通过大量算例考证了程序的正确性，为后续的研究做好了铺垫。
二、把四边形单元引入下限原理有限元法。通过在单元积分意义上建立平衡方程的弱形式，并把区域积分的平衡方程通过格林公式转化为边界积分，从而得到简洁的线性方程，取代了以往的数值积分方案，克服了高斯积分中坐标变换等复杂的求解过程。与三角形单元相比，结果简洁优美，具有更少的自变量和约束方程，使求解效率得到较大提升。
三、研究了屈服面的逼近问题。从数值分析角度来看，采用其它的屈服面拟合方式也能够从下方逼近极限荷载。本文研究了以下几种屈服面的正多边形逼近方式:外切逼近、等面积逼近、最佳平方逼近、最优一致逼近、等周长逼近和内接逼近。计算分析表明:最优一致逼近在保证下限性质和求解精度的同时收敛更快，提高了求解效率，便于工程应用。
四、提出了基于下限原理有限元法的安全系数计算的双曲线插值法。对于岩土工程中常用的强度折减系数，其规划问题是非线性的，不能直接利用线性规划进行求解。基于四边形单元的下限原理有限元法，根据强度折减系数与超载系数近似符合双曲函数的特点，通过调整强度参数使得超载系数逼近于1，可将边坡稳定性分析中常用的强度折减系数的非线性规划求解问题转化为线性规划求解问题。分析表明:采用拟合双曲线插值法求解强度折减系数的计算效率高于常规的二分法及割线法，且具有较好的收敛性;提出的方法能够充分利用当前高效的线性规划算法，便于工程应用。
五、提出了基于方位离散的Mohr-Coulomb屈服准则线性化方法。对于下限分析中屈服面的线性化方法，往往采用内接正多边形来保证解的下限性质。本文首先对方位角进行离散，为保证应力点在这些方位上不发生屈服，在各离散方位平面上建立屈服条件;同时引入伪粘聚力以保证其具有下限性质。该方法丰富了基于线性规划模型的下限有限元理论，为材料各向异性本构问题的计算打下了基础。
上述内容中，二至五是本文的创新点。