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在图论中，为了研究图的性质，人们引进了各种各样的矩阵，诸如图的邻接矩阵，关联矩阵，距离矩阵，拉普拉斯矩阵等等，这些矩阵与图都有着自然的联系。代数图论的一个主要问题就是研究图的性质能否以及如何由这些矩阵的代数性质反映出来，这里所指的矩阵的代数性质，主要指矩阵的特征值。
在上面所提到的矩阵中，最重要的有两个：图的拉普拉斯矩阵和邻接矩阵。图的拉普拉斯矩阵的特征值和邻接矩阵的特征值都是图的在同构下的不变量，图的邻接矩阵及其特征值是代数图论的一个基本的研究课题。在过去的几十年中，人们对图的邻接矩阵的特征值已经进行了大量的研究。和图的邻接矩阵相比，由于在拉普拉斯矩阵中含有图的顶点度的信息，因此图的拉普拉斯矩阵的特征值与图的很多不变量之间有着更加密切的联系。正如Mohar所说：图的拉普拉斯矩阵的特征值更能反映它的图论性质。因此，对图的拉普拉斯矩阵的特征值的研究越来越受到人们的广泛关注。
本文主要研究图的拉普拉斯特征值，具体分为如下三个方面：一是对图的第二大拉普拉斯特征值的研究；二是对图的拉普拉斯谱半径的研究；三是对图的代数连通度的研究。
在第1章中，介绍了与图和拉普拉斯矩阵有关的基本概念以及矩阵论中的一些基本定理。
在第2章中，研究了n阶树的第二大拉普拉斯特征值λ2(T)的最大值和排序问题。关于这一问题，当n是偶数的情形，张晓东和李炯生在[102]中已经解决了最大值的问题。但对n是奇数情形时的最大值问题却一直没有解决。本章中，我们确定了奇数阶树的第二大拉普拉斯特征值的最大与次大值：即阶为2t+1(t≥4)的树T的第二大拉普拉斯特征值λ2(T)的最大值是1/2(t+1+√t2+2t-3)，次大值是方程x3-(2t+3)x2+(t2+3t+3)x-(2t+1)=0的第二大根；且进一步找出了达到最大值的唯一的树T1及达到次大值的唯一的树T2。我们还研究了具有几乎完美匹配的树的第二大拉普拉斯特征值，给出了几乎完美匹配树的第二大拉普拉斯特征值的一个上界。
对图的拉普拉斯特征值而言，最重要的两个特征值是最大的拉普拉斯特征值和第二小的拉普拉斯特征值，分别称为图的拉普拉斯谱半径和代数连通度。最近，人们发现拉普拉斯谱半径在理论化学上有重要的应用见文献；图的代数连通度还可以被用来研究一些困难的图论问题，例如：图的扩展性质，等周数，最大割问题，以及图的直径等等。在第3章和第4章中，我们将分别讨论图的这两个拉普拉斯特征值。
在第3章中，研究了树的拉普拉斯谱半径。关于这一问题，邵嘉裕，袁西英跟何常香在[116]中对具有完美匹配的树按照拉普拉斯谱半径进行了排序。但关于几乎完美匹配树的拉普拉斯谱半径，只有郭继明在[51]中，确定了几乎完美匹配树的拉普拉斯谱半径的最大值，并且给出了相应的极树。我们在郭继明已确定最大值的基础上，进一步确定了n阶几乎完美匹配树的拉普拉斯谱半径的第二到第六大的值，并且给出了达到这五个值的相应的树。
在第4章中，研究了图的代数连通度。用T2k+1表示阶为2k+1的具有几乎完美匹配的树的集合，α(T)表示树T的代数连通度。我们确定了几乎完美匹配树的代数连通度的第一大，第五大及第十二大的具体数值。在T2k+1中特别定义了十棵树T2，T3，…，T11及两类树T(1)和T(12)。我们证明了对于任意的树T1，T"1∈T(1)和任意的树T12，T"12∈T(12)，我们有α(T1)=α(T"1)＞α(Ti)＞α(Tj)＞α(T12)=α(T"12)，其中2≤i
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