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有限势博弈作为一类特殊的博弈具有许多优良的性质，特别是纯纳什均衡的存在性和演化下纳什均衡的可达性这两个特性，使它备受青睐.势博弈在博弈理论中占据着非常重要的位置，尤其是在近几年发展的博弈控制论中，作为支付设计和学习规则设计这两个步骤的接口，在分布式系统的优化与控制问题中起着非常关键的作用.本文主要利用势博弈的静态和动态性质，借助矩阵的半张量积这一数学工具，一方面将设备系统等价转化为有限势博弈，从而通过优化势函数实现系统的的分布式优化与控制;另一方面将有限博弈空间看成与其具有相同拓扑结构和向量空间结构的欧几里得空间，从而在线性代数框架下分析有限博弈的空间结构.
本文主要研究了反对称博弈、对称博弈和具有对称势的有限博弈的空间结构问题，基于博弈控制论的单目标和多目标设备系统的优化与控制问题，以及连续势函数的数值解问题.具体研究内容如下:
1.研究了单目标设备系统的分布式优化与控制问题.给出拥塞博弈的矩阵表示，并以此为基础，给出使设备系统能够成为拥塞博弈且以性能指标函数为其势函数的充分必要条件和设备支付函数的设计方法.同时，分析了策略局势动态方程为马尔可夫过程的动态系统的动态行为.进一步，将研究方法推广到受限的设备系统，如支付函数设计受限、设备使用次数受限、近似拥塞博弈等情况，增强系统的鲁棒性.
2.研究了基于向量势函数方法的多目标设备系统的优化问题.从集合的角度给出了帕累托均衡的验证条件，并讨论了帕累托均衡和纳什均衡的关系.通过设计设备支付函数将多目标设备系统转化为一个以性能指标函数为向量势函数的多目标势博弈，给出了保证这一转化的充分必要条件和设备支付函数的设计方法.进一步，将研究方法推广到受限的多目标设备系统.最后分析了策略局势动态方程为马尔可夫过程的动态系统，证明多目标势博弈至少存在一个帕累托均衡，且在短视最优响应这一策略更新规则下收敛到帕累托均衡.
3.研究了基于对称性的有限博弈的空间分解问题.通过分析支付函数的特点，给出了反对称博弈中支付函数所满足的代数条件，并用来验证一个有限博弈是否为反对称博弈.给出了反对称博弈的线性表示，更清晰地揭示反对称的数学本质.构造了对称博弈和反对称博弈的空间基底，并证明其是正交的，从而提出一种新的有限博弈空间的正交分解方法.
4.研究了具有对称势的有限博弈的空间结构.给出了验证对称势函数的代数条件.构造了对称函数集合的一组正交基，并利用此基底提出了一个线性方程组，将具有对称势的有限博弈的验证问题转化为该方程组的解的存在性问题.进一步，借助这一方程组，得到了具有对称势的有限博弈空间的维数和一组基底.最后，探讨了对称势博弈子空间，也给出了其空间维数和一组基底.
5.研究了基于有限元素方法的连续势函数的构造和逼近问题.基于有限子博弈的势函数，通过线性扩张的方法构造线性插值函数，证明随着样本点的增加，可收敛到连续势函数.进一步，为提高线性插值函数的准确性并降低计算复杂度，提出了合并插值算法，将多个有限势函数结合起来构造线性插值函数.对近似势博弈，给出了(一势函数的计算方法和c的误差估计.
本文主要研究了反对称博弈、对称博弈和具有对称势的有限博弈的空间结构问题，基于博弈控制论的单目标和多目标设备系统的优化与控制问题，以及连续势函数的数值解问题.具体研究内容如下:
1.研究了单目标设备系统的分布式优化与控制问题.给出拥塞博弈的矩阵表示，并以此为基础，给出使设备系统能够成为拥塞博弈且以性能指标函数为其势函数的充分必要条件和设备支付函数的设计方法.同时，分析了策略局势动态方程为马尔可夫过程的动态系统的动态行为.进一步，将研究方法推广到受限的设备系统，如支付函数设计受限、设备使用次数受限、近似拥塞博弈等情况，增强系统的鲁棒性.
2.研究了基于向量势函数方法的多目标设备系统的优化问题.从集合的角度给出了帕累托均衡的验证条件，并讨论了帕累托均衡和纳什均衡的关系.通过设计设备支付函数将多目标设备系统转化为一个以性能指标函数为向量势函数的多目标势博弈，给出了保证这一转化的充分必要条件和设备支付函数的设计方法.进一步，将研究方法推广到受限的多目标设备系统.最后分析了策略局势动态方程为马尔可夫过程的动态系统，证明多目标势博弈至少存在一个帕累托均衡，且在短视最优响应这一策略更新规则下收敛到帕累托均衡.
3.研究了基于对称性的有限博弈的空间分解问题.通过分析支付函数的特点，给出了反对称博弈中支付函数所满足的代数条件，并用来验证一个有限博弈是否为反对称博弈.给出了反对称博弈的线性表示，更清晰地揭示反对称的数学本质.构造了对称博弈和反对称博弈的空间基底，并证明其是正交的，从而提出一种新的有限博弈空间的正交分解方法.
4.研究了具有对称势的有限博弈的空间结构.给出了验证对称势函数的代数条件.构造了对称函数集合的一组正交基，并利用此基底提出了一个线性方程组，将具有对称势的有限博弈的验证问题转化为该方程组的解的存在性问题.进一步，借助这一方程组，得到了具有对称势的有限博弈空间的维数和一组基底.最后，探讨了对称势博弈子空间，也给出了其空间维数和一组基底.
5.研究了基于有限元素方法的连续势函数的构造和逼近问题.基于有限子博弈的势函数，通过线性扩张的方法构造线性插值函数，证明随着样本点的增加，可收敛到连续势函数.进一步，为提高线性插值函数的准确性并降低计算复杂度，提出了合并插值算法，将多个有限势函数结合起来构造线性插值函数.对近似势博弈，给出了(一势函数的计算方法和c的误差估计.