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8维Spin群Spin(8)有三个不等价的不可约表示：R8，V8+，V8-，Spin(8)在它们上面的表示都是保定向与等距的。E.Caftan证明了在这些表示之间存在一种Triality变换，它是Spin群Spin(8)的自同构．本文用周建伟[12]的方法，用Clifford代数Cl8的子空间表示Spinor空间V8+=Cleven8．As(1+β8)与V8=Clodd8.A8(1+β8)．利用这一表示我们研究Triality变换的性质并给出一些运用．
李群Spin7是特殊正交群SO(8)作用于A8(1+β8)的不变子群，它的子群G2是李群分类中的例外群．本文利用Triality变换证明SPin7同构于7维Spin群Spin(7)，证明了Grassmann流形G(3，7)与a(4，8)的一个子流形CAY是同胚的。我们也研究了Spin7的相关几何，证明了Grassmann流形C(2，8)与G(3，8)都是李群Spin7的商空间．