【摘 要】
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本文主要是对由展式的唯一性所产生的数论问题做出一个概述.(1)研究实数在非整数基下展式的个数及特点;(2)在不同基下,此处公式省略的展式个数不同,并以字典序为工具刻画唯一
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本文主要是对由展式的唯一性所产生的数论问题做出一个概述.(1)研究实数在非整数基下展式的个数及特点;(2)在不同基下,此处公式省略的展式个数不同,并以字典序为工具刻画唯一集.我们还将一维的展式推广到多维的展式,在遍历理论中可以有映射的迭代,有二维甚至多维的唯一集.我们着重研究唯一集的拓扑性质和Hausdorff维数以及Lebesgue测度.文中给出了一系列非常基础但是很重要的定理和证明,并给出一些实际例子.本文在充分查阅相关文献的基础上对非整数基展式的相关内容进行了一些概述和拓展.本文由三个章节构成. 第一章,主要介绍了有关研究现状及本文的具体安排. 第二章,主要介绍一些主题内容可能用到的基本概念,比如β展式,Hausdorff维数,字典序列,universal展式等. 第三章,首先对任意一确定的实数x,根据x的展式个数对基进行分类,特别给出在给定基q下,x=1以q为基的展式的个数;然后讨论在哪些基下实数存在universal展式,并给出在Jq=[0,m(q1)]内的点存在universal展式的条件;其次介绍使得x=1的展式唯一的那些基组成的集合,并给出这个集合所具有的拓扑性质,将其与康托集类比得出一些结论;接着给出在给定基q下,展式唯一的x构成的集合,给出唯一集的Hausdorff测度,刻画了其拓扑性质;最后将字母表拓展为一般字母表,讨论实数在一般字母表下的展式的上述特性.
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