【摘 要】
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路和圈是结构图论的重要研究课题之一,对其进行研究不但有重要的理论意义,而且在计算机科学、信息科学和生物科学中有广泛的应用.确定一个图是否为哈密尔顿图是NP-困难的.由于其和四色定理的密切联系,以及较强的应用性,图的哈密尔顿性一直是图论研究的中心问题之一.本论文主要研究二部图中的圈结构和路结构.全文共分四章,主要内容如下:在本文第一章,首先介绍了文中出现的一些基本定义与符号.接着阐述了研究背景、研究
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路和圈是结构图论的重要研究课题之一,对其进行研究不但有重要的理论意义,而且在计算机科学、信息科学和生物科学中有广泛的应用.确定一个图是否为哈密尔顿图是NP-困难的.由于其和四色定理的密切联系,以及较强的应用性,图的哈密尔顿性一直是图论研究的中心问题之一.本论文主要研究二部图中的圈结构和路结构.全文共分四章,主要内容如下:在本文第一章,首先介绍了文中出现的一些基本定义与符号.接着阐述了研究背景、研究意义以及国内外的研究现状.通过对研究背景和研究现状的讨论,说明了本文主要研究工作的必要性和创新性.在本文第二章,我们主要研究二部图的偶泛圈性与双泛连通性.1975年,Alavi和Williamson首先提出了泛连通的概念.两年后,Williamson证明了任意最小度δ（G）≥ n/2+1的n阶图G是泛连通图.1989年,田丰老师和臧文安老师证明了对任意的x∈Vi,i∈{1,2},满足d（x）>|V3-i|/2+1的二部图G=（V1,V2,E）是奇偶泛连通图.2018年,Du等人证明了任何满足最小度δ（G）≥n/2+1的二部图G=（V1,V2,E）是偶泛连通图,其中n=max{|V1|,|V2|}.我们推广了这两个定理,证明了边比数至少为1/2的所有二部图都是双泛连通图.相关论文在Applied Mathematics and Computation上发表.在该章,我们还提出路二偶泛圈图的概念,证明了几乎所有的边比数至少为1/2的二部图都是路二偶泛圈图.在本文第三章,我们主要研究了二部图弱泛偶弦圈的度条件.1989年,田丰老师和臧文安老师[Bipancyclism in Hamiltonian bipartite graphs,Journal of Systems Science and Complexity 2（1989）,22-31]证明了任意最小度 δ（G）≥ 2n/5+2 的2n（n≥60）阶哈密尔顿二部图均是偶泛圈图.在第三章中,我们将此结果改进为:设 G=（V1,V2,E）为2-连通二部图,min{|V1|,|V2|}≤24,且δG[V1]=min{dG（x）:x∈Vi}≥|V3-i|/3+5,i ∈ {1,2},则G是围长为4的弱泛偶弦圈图.该定理的证明较为复杂,难点在于不同长度的偶弦圈的存在性要用不同的方法证明.在本章第一节,我们先证明了一些二部图的结构引理.在第二节中,利用圈套结构,我们证明了长度在6到min{2|V1|/3,2|V2|/3}+8之间的小型偶弦圈的存在性.在第三节,我们利用基本连通度、二部图的双泛连通性和圈套结构,证明了长度在min{2|V1|/3,2|V2|/3}+10至min{4|V1|/3,4|V2|/3}之间的中型偶弦圈的存在性;在第四节,利用反证法和局部分析,我们证明了长度在min{4|V1|/3,4|V2|/3}至周长之间的大型偶弦圈的存在性.最后在第五节,对本章的主要定理进行了证明.在本文第四章,我们阐述了可以进一步思考的问题.
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