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众所周知，描述声波在介质或波导中传播的波动方程是非线性的，一般说来，其解相当
复杂。人们现已认识到介质或结构的非线性声弹性效应与介质的微观结构、内部组分和缺陷
等因素密切相关，反映了物质的动力学特征，是介质的一个重要特征参数。这种情况之下，
自然地就联想到采用兰姆波的非线性效应对板材结构进行更准确的非线性无损检测。但是，
因兰姆波是频散的，其传播速度与频率有关，一般情况下不存在显著或强烈的非线性效应，
在实验上很难对相应的非线性进行测量；另一方面，从理论上来看，平面固体结构至少包含
两个以上界面，兰姆波在其中传播时所引起的非线性相互作用异常复杂。故多年来兰姆波非
线性的研究一直进展缓慢。
近年来，固体界面非线性声反射理论已取得较大的进展，为解决与非线性反射问题密切
相关的兰姆波非线性问题，奠定了必要的理论基础。鉴于兰姆波非线性的理论研究现状及兰
姆波在实际应用中的重要潜在价值，进一步深入探索平面固体结构中有限振幅兰姆波的解，
不仅在理论上具有重要意义，而且还具有重要的应用前景，尤其是可能在平面固体结构的兰
姆波非线性无损评价方面发掘出一条新途径。
本文作者针对典型的平面固体结构(——单层固体板和复合固体板)，从理论上深入研究了
兰姆波在其中传播时的二次谐波发生及传播问题，并进行了实验研究。主要研究内容和取得
的结果包括：给出了固体介质中有限振幅声波波动方程的位移矢量形式，以及二阶微扰近似
下二次谐波波动方程的矢量形式；对无限大固体介质中基频纵波、基频横波自作用产生的二
次谐波，以及基频横波、基频纵波相互作用所产生的二次谐波进行了全面的探讨；给出了二
次谐波在平面固体结构中的边界条件；给出了基频纵波入射时，具有空间积累增长效应的入
射二次谐波的一般表达式；采用导波模式展开分析方法，给出了平面固体结构中，任意体分
布或面分布的激发源所激发的声场的一般表达式；采用界面非线性声反射技术和导波的模式
展开分析方法，对单层固体板中兰姆波的二次谐波发生与传播问题进行了深入的研究，得到
基频兰姆波模式传播过程中二次谐波的一系列基本而又重要的性质，为进一步深入研究其他
波导结构中导波模式的非线性问题奠定了一个较扎实的基础，给出了可供借鉴的处理方法。
关于单层固体板中兰姆波二次谐波的主要结论是：
(1)无论基频兰姆波模式是对称或是反对称的，其二次谐波的声场总呈对称分布，与基频
兰姆波的对称性无关；(2)当基频与二倍频兰姆波的相速度相等时，尽管兰姆波是频散的，但
其二次谐波确实具有随传播距离积累增长的效应；(3)对同一个归一化厚度和基频兰姆波的相
速度来说，若基频对称兰姆波导致积累二次谐波的发生，则在该条件下基频反对称兰姆波也
将导致积累二次谐波的发生，反之亦然；(4)积累二次谐波由驱动积累二次谐波和自由积累二
次谐波两部分构成，给出了满足二阶波动方程、边界及初始条件的积累二次谐波的解析解，
该解在二阶微扰近似条件下是精确的，它清晰直观地展现了二次谐波随传播距离的积累增长
效应，同时，该解还清楚地表明，积累二次谐波的声场与激发源的位置密切相关；(5)在板内
除积累二次谐波外，还存在不具有积累效应的自由二次谐波，自由二次谐波可视为由相速度与
基频兰姆波不等的一系列二倍频兰姆波模式叠加而成，因基频与二倍频波之间的“异步”效
应，使得二倍频兰姆波的振幅存在“拍”现象，与积累二次谐波相比可以忽略；(6)采用导波
的模式展开分析方法对基频兰姆波传播过程中的二次谐波发生问题作了一般性的研究，根据
导波的模式展开系数方程，分析了各个二倍频兰姆波模式对板内总的二次谐波声场的贡献；(7)
采用一维简化模型对板内二次谐波的发生与传播问题作了简洁直观的说明；(8)采用导波模式
展开分析方法和一维简化模型，给出了基频与二倍频兰姆波相速度严格和近似相等时，其声
场之间的相互联系；综合界面非线性声反射技术方法和导波模式展开分析方法所得结果，直
接给出了基频与二倍频兰姆波模式的相速度严格和近似相等时，固体板中积累二次谐波声场
的解析式；(9)适当的兰姆波频散程度，可使固体板表面的二次谐波法向位移分量的振幅得到
显著提高，有利于实际测量。
在单层固体板兰姆波非线性的分析基础上，对复合固体板中基频兰姆波模式传播过程中
的二次谐波发生与传播问题进行了深入研究；基频兰姆波在传播过程中，因板材的体弹性非
线性效应，在构成复合固体板的各个固体层内都将产生相应的二阶体驱动力，该力的形式与
单层固体板中二阶驱动力的形式完全相同；各个固体层内的体驱动力都将产生相应的驱动二
次谐波；对于各个固体层中的二次谐波来说，必须满足二阶边界条件；关于各个固体层中的
自由二次谐波，既有平面波项，也有积累波项，其具体形式通过参照界面非线性声反射技术
的处理方法而直接得出；研究发现，要使复合固体板中伴随基频兰姆波传播的二次谐波具有
空间积累增长性质，基频和二倍频兰姆波的相速度必须相等，这一结果与单层固体板中积累
二次谐波的发生条件相同；推导出了二阶微扰近似下精确的满足边界条件、初始条件和二阶
波动方程的积累二次谐波解析表达式，尽管其形式较为繁复，但其物理意义却是直观清晰的；
对于不具有积累效应的自由平面二次谐波，可以将其理解为由一系列二倍频兰姆波叠加而成，
这些二倍频兰姆波的相速度与基频兰姆波的相速度不等，导致了二倍频兰姆波模式的振幅表
现出“拍”的性质，与积累二次谐波相比，可不予考虑；基于导波的模式展开分析方法，形
式上给出了构成板内二次谐波声场的一系列二倍频兰姆波的展开系数。分析表明，基频与二
倍频兰姆波相速度严格和近似相等时的二次谐波声场仍可通过一因子直接相联系；一般说来，
积累二次谐波在复合固体板上下表面的法向和切向位移分量均表现出较显著的积累效应；随
着传播距离的增加，软粘接层内的二次谐波声场畸变程度比硬固体板内声场的畸变程度更显
著；数值计算表明，随着传播距离的增加，由三阶弹性常数的相对变化所引起的积累二次谐
波振幅的差异将越来越大，而这一效应可望用于对复合固体板结构进行更准确的无损检测。
对兰姆波非线性的测量过程作了系统论述，简单直观地论述了长波列基频兰姆波脉冲传
播时所发生的二次谐波脉冲波包的时域特性，以及门积分器延迟时间选取等重要问题。对一
定频率范围内的基频兰姆波及二次谐波在固体板表面的振幅随传播距离的关系进行了测量；
在基频与二倍频兰姆波相速度相等所对应的频率附近，分析了二次谐波振幅随传播距离的定
量关系，得出二次谐波在传播过程中确实具有积累增长效应的结论；本文的实验结果第一次
明确观察到了兰姆波在传播过程中的非线性积累效应，从实验上证明了本文理论分析的合理
性。
通过本文所给出的分析过程和所得到的平面固体结构中兰姆波积累二次谐波的解析表达
式，以及数值计算结果和实验结果，可对兰姆波的二次谐波发生与传播问题有一个较全面的
了解，所得结果对深刻理解兰姆波在平面固体结构中二次谐波的积累增长效应有着重要意义。
鉴于兰姆波的非线性是一异常复杂的问题，本文在一定程度上对其进行了成功的分析，并从
实验上予以了验证，为将来进一步的工作奠定了基础。对其他类型导波模式非线性效应的分
析，本文作者所阐述的分析方法可供借鉴。
关键词：平面固体结构，非线性，二次谐波，积累效应，频散，兰姆波，复合固体板，单层固体板，表面振幅，界面，非线性声反射，导波模式分析