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Banach空间几何理论是近代泛函分析的重要分支。1965年,Kirk证明了具有正规结构的自反Banach空间具有不动点性质,由此,利用Banach空间几何性质研究单值、集值非扩张类映射的不动点性质的理论得到迅速发展。近年来,距离空间(特别是CAT(0)空间)中的不动点理论也得到广泛研究。众所周知,不动点理论在微分方程、代数、控制论、经济平衡理论及对策理论等领域有着广泛的应用,因此,研究Banach空间几何常数在距离空间不动点理论中的应用具有重要的理论意义和应用价值。 本文主要从Banach空间几何常数出发讨论Banach空间和一类距离空间中的不动点问题,所得的主要结果如下: 首先,研究了集值非扩张映射、渐近非扩张映射不动点的存在性问题。利用Banach空间中Jordan-von Neumann常数、Zbaganu常数、可分非紧凸系数与Benavides系数、弱收敛序列系数之间的关系,得到了一些蕴含集值非扩张映射存在不动点的充分条件,并证明了单调系数小于1的弱正交Banach格具有集值不动点性质;证明了可分非紧凸系数小于弱收敛序列系数或Hausdorff非紧凸系数小于1的自反Banach空间渐近非扩张型映射存在不动点,以及满足局部一致Opial条件的Banach空间中的渐近非扩张型映射在零点处满足半闭原理,并推得满足Opial条件的接近一致凸Banach空间满足局部一致Opial条件,从而满足前面的半闭原理。另外,利用广义James常数、广义Jordan von-Neumann常数与Benavides系数估计了弱收敛序列系数的下界,得到一些蕴含正规结构的充分条件;并讨论了广义Dunkl-Williams常数的一些几何性质。 其次,研究了渐近非扩张映射不动点的迭代收敛性问题。将映射的Cesaro平均引入到CQ迭代方法中,证明了Hilbert空间中渐近非扩张映射带Cesaro平均的CQ迭代序列强收敛于映射的某个不动点,并将其应用到平衡问题得到该问题解的一个强收敛定理。此外,在一致凸Banach空间中构造了渐近非扩张映射带Cesaro平均的隐性和显性粘滞迭代序列,并证明了它们强收敛于粘滞变分不等式的唯一解。 最后,研究了一类距离空间中渐近非扩张型映射不动点的存在性与收敛问题。证明了具有单调一致凸模的UCW-hyperbolic空间(包含CAT(0)空间)中的渐近非扩张型映射具有不动点,且关于-收敛的半闭原理成立;作为应用,证明了CAT(0)空间中连续渐近非扩张型映射不动点Krasnoselski-Mann迭代序列的-收敛定理。