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在这篇博士后出站报告中，我们主要研究满足一定曲率维数条件的度量测度空间的乘积曲率性质和局部到整体性质以及空间形式中的常平均曲率超曲面。
第一章，我们首先回顾Lott-Sturm-Villani[30][31][23]利用最优传输定义的奇异空间上的广义Ricci曲率下界，即曲率维数条件。然后我们证明了曲率维数条件的乘积性质，并且给出了Villani关于局部到整体猜想的一个反例。
第二章，我们研究了双曲空间Hn+1（-1）中具有常平均曲率日及有限指数的完备超曲面，证明了：H4（-1）（H5（-1））中具有常平均曲率H2>64/63（H2>175/148）及有限指数的完备超曲面必紧致；特别地，H4（-1）（H5（-1））中具有常平均曲率H2>64/63（H2>175/148）的稳定完备超曲面必为紧致的测地球面。这个结果改进了X.Cheng[13]的定理，并且我们应用这个结果说明了[12]和[14]中某些定理的研究对象不存在。
第三章，我们首先回顾了陈省身猜想的进展。然后我们研究了n+1维单位球面中具有常平均曲率日的n维闭超曲面，推广了成庆明等的一个结果。具体讲，我们证明了：如果|H|≤ε（n），则存在仅依赖于n和H的常数δ（n，H）>0，使得若S0≤S≤S0+δ（n，H），则S=S0且M等距于Clifford超曲面，其中δ（n）是仅依赖于n的充分小的常数。