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本文给定了在Hilbert空间中的自伴算子A是下有界的，即如果存在一个正常数k满足(Ax,x)≥k(x,x),(x∈D(A))如果A进一步满足左定的五条相关的条件,则连续的Hilbert空间称为H,A上的左定的Hilbert空间，自伴算子A称为H,A上的左定微分算子.在本文中研究了几个具体的微分算式,并且得出了其相关的左定空间、左定算子及其谱.如经典的四阶Laguerre型微分算式l[y]和非经典的当α=-2时Laguerre型微分算式l[y]以及四阶的Legendre型微分算式和微分算式l[y]=-y"+ky的相关左定空间和左定算子及其谱. 首先，对微分算子及微分算子的左定理论的研究历史、意义以及现状进行了深入的调查,总结了有关微分算子及左定微分算子谱理论研究的方法及其相关成果等，并且分析了研究的意义及价值,为日后的研究提供了有力的依据. 为了更好地理解本文的内容，在本章将要介绍本文所涉及到的一些基本的概念、引理等.如：左定空间、左定算子、自伴算子以及谱等等. 在第二章所给出的理论基础上,首先在空间H=L2((o,∞),e-t)上讨论了四阶Laguerre型微分算式:此处公式省略该算式具有Laguerre型多项式的特征函数:此处公式省略 根据该算子的下有界性,给出了该问题的第一左定空间和第一左定算子.其次,采用了类似的方法讨论了具体的当α=-2时的非经典Laguerre型微分表达式,给出了该算式的第一左定空间和第一左定算子.接着,采用了不同于文献的方法讨论了四阶Legendre型微分方程的相关左定空间,左定算子及谱.最后,讨论了l[y]=-y"+ky在一定边界条件下的微分算子,得出算子的下有界性,同时给出了第一和第二左定空间及左定算子. 最后总结在Hilbert空间中左定谱理论的一系列重要的结果,如左定空间和左定算子的建立,点谱的计算等等.其次，对于四阶微分方程以及高阶微分方程的第N个左定空间及相关的理论还有待于进一步的研究.