【摘 要】
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本文运用函数变换法及李群方法，研究了几类具有重要物理背景的非线性发展方程.在已有基础上得到了方程新的显式解，包括非行波解、孤立波解和相似解等，并讨论了部分方程的群分类
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本文运用函数变换法及李群方法，研究了几类具有重要物理背景的非线性发展方程.在已有基础上得到了方程新的显式解，包括非行波解、孤立波解和相似解等，并讨论了部分方程的群分类和守恒律问题.
在第一章中，主要研究了长水波近似方程组和协变Boussinesq方程组.利用扩展(推广)的齐次平衡法，得到两类方程组的自Backlund变换、非行波解和n-共振平面孤立波解，这些结果是全新的.与齐次平衡法不同的是，在扩展的齐次平衡法中引入了方程的已知解，这极大丰富了齐次平衡法的应用，可寻求方程的自Backlund变换，获得方程丰富的显式解.
在第二章中，通过选取适当的函数变换，在系数满足一定约束条件时，将变系数Schrodinger方程约化为常微分方程.通过求解常微分方程较系统地得到变系数Schrodinger方程的亮孤子解、暗孤子解和椭圆周期解.由本章结果可以看出方程孤子解的位相、速度和宽度随时间变化而变化.
在第三章中，讨论了描述等离子体中的弱非线性离子声波现象的(2+1)-维Zakharov-Kuznetsov型方程.首先应用直接对称方法求得一类广义Zakharov-Kuznetsov方程的两种对称，进而得到方程的约化和显式解，推广了已有文献中的结论；其次提出一种寻找对称的新方法—相容性方法.利用相容性方法得到变系数Zakharov-Kuznetsov方程的四类对称和相应不变变换群(对称群)，并得到方程的约化和新相似解(这些解由Airy函数及其导数构成).与非经典李群方法相比较，相容性方法最大的优点是直接简便，省去大量繁杂的计算.应用相容性方法可求解其它非线性发展方程.
在第四章中，运用经典李群方法和相容性方法分别讨论了变系数Burgers方程的群分类和(3+1)-维dimbo-Miwa方程的守恒律问题.根据变系数Burgers方程中色散项系数a(t)和非线性项系数b(t)的各种不同情况，得到了方程的群分类，同时求得方程的一些约化和相似解.应用相容性方法得到Jimbo-Miwa方程的两类对称及生成元v0-v6对应的方程不变变换群，同时求得扩张对称v3相应的守恒律和Jimbo-Miwa方程的九类对称约化，这里给出的结果是全新的.
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