【摘 要】
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设T:X→Y是两个度量空间X和Y之间的一个映射.Aleksandrov问题是指若T保一个距离，则T是否必为等距.而在此基础上的Aleksandrov-Rassias问题是指若T保两个不成整数比例的距离，则T
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设T:X→Y是两个度量空间X和Y之间的一个映射.Aleksandrov问题是指若T保一个距离，则T是否必为等距.而在此基础上的Aleksandrov-Rassias问题是指若T保两个不成整数比例的距离，则T是否必为等距. 本论文通过引入半平行四边形的概念以及推广平行四边形法则得到了内积空间中的Aleksandrov-Rassias问题的一些结果，具体如下： 在§3.1中，我们给出半平行四边形的概念并探究其相关性质. 在§3.2中,我们得出Aleksandrov-Rassias问题关于半平行四边形的一些结论并证明了如下定理.设X和Y均为实内积空间且dim X≥2,T：X→Y是一个映射.若T保1和(√l2-1/4+√m2-1/4),其中k,l,和m均为正整数，则T是一个仿射等距. 在§3.3中，我们推广了平行四边形法则. 在§3.4中，我们用推广了的平行四边形法则得出Aleksandrov-Rassias问题的一个重要结论,如下：设X和Y均为实内积空间且dim X≥n（n≥1), T：X→Y是一个映射.若 T保1和k(√l2-n-1/2n+√m2-n-1/2n),其中k,l,和m为不全为1的正整数，则T是一个仿射等距. 此外，我们还研究了线性空间上的几种范数之间的关系这一在Aleksandrov问题中起基础性作用的问题，具体结论如下： 在§4.1中，我们证明了准凸范数与通常的范数是等价的. 在§4.2中，我们讨论了2-范数与准凸2-范数的关系，得到了一个有用的结论.
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