论文部分内容阅读
在这篇文章中,我们研究方程
u(x)=∫Rn1/|x-y|n-af(y,u(y))dy
在一般情境下的解的性质.证明了解的正则性、对称性和单调性,也证明了积分方程(0-1)和微分方程
(-△)a/2u=f(x,u(x))(0-2)
之间的等价性,并由此得到了相关的几个推论.
我们主要的结论是
定理1 设u∈Lq(Rn)是方程(0-1)的—个解,当q>n/n-a并且
∫Rn|f(y,u(y))/u(y)|n/a<∞和|f(x)|≤C|u(x)|k,这里k>n/n-a.
那么u(x)属于L∞(Rn)空间,因此是连续的.
定理2 设u∈Lq(Rn)是方程(0-1)的一个解,对于某个q>n/n-a,
假设有
i)f(x,u)和(δ)f/(δ)u关于u是严格单调增的,
ii)∫Rn|(δ)f/(δ)u(y,u(y))|n/ady<∞,和
iii)f(x,u)在x1-方向上关于原点是对称并且单调减的.
那么u在x1-方向上关于原点是对称并且单调减的.
推论1设u∈Lq(Rn)是方程(0-1)的一个解,并且满足定理二中的条件i)和ii).另外,假设f=f(|x|,u)和f关于|x|严格单调减,那么u在Rn上关于原点是径向对称并且单调减的.
推论2设u∈Lq(Rn)是方程(0-1)满足定理2中条件I)和ii)的—个解,如果f=f(u),那么方程的解u在Rn关于某点径向对称并单调减.
推论3方程(0-1)的任意一个解乘以某一个常数也是-△a/2u=f(x,u(x))的弱解,反之亦然.
定理3 方程(0-1)的任意一个解乘以某一个常数C是方程
-△a/2u=f(x,u(x))的—个弱解,反之亦然.
本文在第三部分,用正则性提升定理证明了解的正则性,运用移动平面法的思想证明了解的对称性和解的单调性,并证明了在弱解存在的情况下,积分方程(0-1)和微分方程(0-2)解的等价性.
在证明的过程中我们主要应用了正则性提升定理、积分不等式的极值原理和Hardy-Littlewood-Sobolev不等式等.