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我们利用双曲多边形，如Lambert四边形和Saccheri四边形等刻画了M(?)bius变换的新特征；利用离散群、稠密群和开集的关系以及Clifford代数，在L(I)有限的条件下得到了Isom(H~n)中的六条离散准则；刻画了Heisenberg空间中链的关系等特征，并利用之在复双曲等距群中建立了相应的离散准则、代数收敛定理；将几何有限的实双曲等距群的一条有限性性质推广到了复双曲等距群中，并通过构造出的例子给出了实、复双曲几何的一个不同之处。全文共分如下五章。第一章是本文的概述。叙述了离散群理论发展的历史过程、背景以及现状。并着重介绍了本文研究的四个问题和相关结果，以及遇到的主要困难和所用的方法。在第二章中，我们讨论如何利用双曲多边形给出M(?)bius变换的新特征。我们利用几何的方法证明了保持Lambert四边形或Saccheri四边形的单射必定是M(?)bius变换；同时利用此结果，我们还得到了同样可以作为M(?)bius变换特征的一类双曲n边形。本文的第三章讨论高维双曲等距群的离散准则。我们主要是从拓扑的角度来讨论离散性问题。即从Isom(H~n)中的离散子群和稠密子群的关系入手，并且给出Isom(H~n)中的一些特殊的开子集。我们的主要工具包括Waterman等利用Clifford代数得到的Jφrgensen不等式的推广、Chen和Greenberg关于离散子群和稠密子群关系的定理等。同时，我们还讨论了n-dimensional、一致有界挠、条件A等各种条件间的关系，并在L(I)有限的条件下得到了六条关于任意维数的双曲等距群Isom(H~n)的离散准则。在第四章中，我们讨论了复双曲等距群PU(2，1)中的离散准则和代数收敛定理。我们通过在复双曲几何以及Heisenberg几何中的计算，给出了两个边界椭圆元素在边界上的不动点集连接的一个充分条件，进而利用Basmajian-Miner不等式，在PU(2，1)中建立了相应的离散准则和代数收敛定理。本文的第五章讨论如何将几何有限的实双曲等距群的一条有限性性质推广到复双曲等距群PU(n，1)中。利用的主要工具包括：Ratcliffe关于正规化子离散性的讨论，Bowditch关于负曲率流形中几何有限概念的等价定义，以及Martin关于负曲率流形上Jφrgensen不等式的推广等。同时，我们构造了一个反例，表明Ratcliffe的有限性定理中m＜n—1的条件在复双曲流形的情形不真，这说明了实、复双曲几何的一个不同之处。