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1989年,Ringel定义了任意有限性环上的Hall代数(见文[Rin2]),其主要目的是为了探讨箭图表示与李代数和量子群之间的关系.随后,许多数学工作者一直试图利用有限域上有限维代数的Hall代数来实现李代数和量子群,已产生许多有重要意义的结果,见文[Rin3,Rin4,Rin6,Gr2,PX1-PX3,X,DX].Hall代数中由单模同构类生成的子代数称为合成代数,合成代数在实现李代数和量子群的过程中起到重要作用,引起大家的广泛研究,见文[Rin3,Rin7,Gr2,X,GP,GZ,Zp2-Zp5,ZZ].另外,Hall多项式在计算相应李代数和量子群的结构常数时起到非常关键的作用,因此Hall多项式是否存在也是备受关注的问题,见文[Rin2,Rin6,Gu,P,Zsl].有限维遗传代数的二重(duplicated)代数的倾斜模与 cluster范畴中的倾斜对象一一对应,引起我们对二重代数的研究兴趣,见文[ABST1,Zs5].
Hopf代数在上世纪六十年代就引起了很多数学家的研究兴趣.尤其近年来量子群的兴起,特别是量子群与统计力学中的Yang-Baxter方程之间深刻的联系,Hopf代数已发展成为与物理等多个学科有密切联系的代数学分支.用箭图的方式来研究 Hopf代数始于上世纪九十年代,Cibils,Rosso,Green,Solberg,Van Oystaeyen和章璞等都有许多重要工作(见文[Ci,CR1,CR2,Gso,VZ]),在推动Hopf代数的发展上起到不可忽视的作用.
本学位论文主要做了下面两方面工作:
一.研究了二重tame型遗传代数的Ringel-Hall代数的结构,并得到二重tame型遗传代数导出的李子代数；
二.建立了Hopf超箭图理论,并用箭图理论研究了Hopf超代数和拟Hopf超代数这两类重要的Hopf结构.
本论文共分四部分:
第一章是引言部分,我们介绍与本文有关的研究发展概况,较全面阐述论文的工作背景和思路.
第二章,我们研究了二重tame型遗传代数的Ringel-Hall代数和合成代数结构,证明了二重tame型遗传代数的一些Hall多项式存在,并得到由二重tame型遗传代数导出的李子代数.主要结果如下:
定理2.2.4设A为tame型遗传代数,A为A的二重代数,M为不可分解A-模,则 u[M]∈l(A)当且仅当 M为例外 A-模.
定理2.2.7设 A为tame型遗传代数,A为A的二重代数,M为非单且不可分解A-模,则 l(A)中的元素 u[M]可以写成单 A-模同构类的多重斜换位子.
定理2.3.10设 A为tame型遗传代数,A为A的二重代数,X和 Y为不可分解A-模,则对任意的A-模 M,Hall多项式9XYM存在.
第三章,建立了Hopf超箭图理论,作为应用给出了分次Hopf超代数的分类理论和一些重要的结构性定理.主要结果如下；
定理3.2.2设(Q,p)为超箭图,则路超余代数(kQ,p)具有分次Hopf超代数结构当且仅当(Q,p)为由群和与之对应的一个超分歧数据确定的Hopf超箭图.
推论3.2.3设G为群,C为群 G的共轭类集.对任意 C∈C,记 Zc为C中某个元的中心化子.设 R=(Ro,R1)为G的一个超分歧数据,其中 R0=∑c∈c Rc,0C和 R1=∑C∈C RC,1C.记相应的Hopf超箭图(Q(G,R0,R1),p)为(Q,p).则路超余代数(kQ,p)具有 Q0≌G的分次Hopf超代数结构与表示组{(VC,0)C∈C,(VC,1)C∈C)一一对应.其中 VC,0和 VC,1分别为维数是 RC,0和 RC,1的kZC-模,对任意 C∈C.
命题3.3.1设 H为点化Hopf超代数,grH为由 H的余根滤链诱导的Hopf超代数,则存在唯一的Hopf超箭图(Q,p)以及路超余代数(kQ,p)上的分次Hopf超代数,使得grH同构于该分次Hopf超代数的一个包含后kQ0 kQ1的子Hopf超代数.
第四章,用建立的Hopf超箭图理论来研究拟Hopf超代数.主要结果有:
定理4.2.1设(Q,p)为超箭图,则路超余代数(kQ,p)具有分次对偶拟Hopf超代数结构当且仅当(Q,p)为Hopf超箭图.
命题4.2.3设 G为群,(kG,φ,S,α,β)为对偶拟Hopf超代数.取群G的一个超分歧数据 R=R0 R1.设(Q,p)=(Q(G,R0,R1),p)为Hopf超箭图.则路超余代数(kQ,p)具有分次对偶拟Hopf超代数结构,其中以kQ0≌(kG,φ,S,α,β)作为子对偶拟Hopf超代数,当且仅当 kQ1具有 kG-quasi-Hopf超双模结构.并且,路超余代数(kQ,p)上的分次对偶拟Hopf超代数结构与 kQ1上的kG-quasi-Hopf超双模结构一一对应.
命题4.2.4设 H为点化对偶拟Hopf超代数,grH为由H的余根滤链诱导的对偶拟Hopf超代数,则存在唯一的Hopf超箭图(Q,p)以及路超余代数(kQ,p)上的分次对偶拟Hopf超代数,使得grH同构于该分次对偶拟Hopf超代数的一个包含kQ0 kQ1的子对偶拟Hopf超代数.
推论4.2.5设(Q,p)为超箭图,则路超余代数(kQ,p)具有对偶拟Hopf超代数结构(不一定分次)当且仅当(Q,p)是Hopf超箭图.