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Mané在文章([M])中得到如下两个重要的定理，它们建立了控制分解与双曲性之间的一些联系，同时其证明也具有很重要的作用。
定理111.([M]).如果f∈F1(M)，0＜i＜dimM，记Tpi(f)M=Esi()Eui为指标i的控制分解，且Esi是压缩的，那么Eui是扩张的。
定理1.2。([M])。令∧为f∈Diff1(M)的一个紧不变集，满足Ω(f|A)=A，其上有一T∧M=E()F的控制分解，使得E是压缩的。如果存在c＞0使得对于∧的一个稠密集∧0中的点x都成立。那么或者F是扩张的，或者对于任意0＜γ＜1以及任意∧的邻域U，都存在f的一个周期点P，其轨道包含在U中，使得成立，这里Eu表示p的不稳定子丛。
因为原有的证明很复杂，后来的文章([Gz]，[MS])都对其做了进一步讨论，所以本文首先要将定理的证明阐述清楚。注意到上述两个定理都要求稳定子丛是压缩的，而这个要求在很多情形下难以达到，所以我们试图推广上述结论，得到了下述定理：
定理5.3.令f∈Diff1(M)，0＜i＜dimM，记Tpi(f)M=E()F为指标i的控制分解。假设存在c＞0使得对于Pt(f)中的点x都成立，且f在Pt(f)上满足“有界条件”，那么F是扩张的。“有界条件”的具体定义将在本文后面的讨论中给出，为了有个形象的理解，几何上说，可以将这个条件理解为要求动力系统中体现扩张性的部分和体现压缩性的部分不能离得无限远。否则就能找到足够长的一段轨道既不体现明显的扩张性，又不体现明显的压缩性，这样我们现有的工具就无法处理这一部分轨道，“有界条件”就是为了避免这一情况而附加上的。
本文讨论了一类特殊的体现双曲性的动力系统--blender的定义及其性质。并得到了下述扰动定理：定理2.4.令微分同胚f有一个相应于两个鞍点P和Q的余维1的异维环，且(Γ，f，Q)是一个blender，则存在C1足够靠近f的微分同胚g，使得g有相应于两个鞍点P1g和Q1g的简单异维环，且(Γ，g，Q1g)是一个blender，这里P1g和Q1g分别是和P，Q的延续Pg，Qg同宿相关的。这说明通过C1小扰动能够把一类blender变成结构相对简单的形式，特别的，能够把其中的部分blender简化成1维动力系统的形式。