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本论文主要研究了期权定价模型中的反问题，即波动率校准问题的数值方法。这是一类具有广泛应用价值的问题。此类反问题是根据不同执行价格和不同到期日的期权市场观测价格来确定标的资产的波动率参数。它是一类非线性的反演问题，具有不适定性。研究目的是消除反问题的不适定性获得校准问题的稳定收敛的数值算法。分别研究了欧式期权、跳跃扩散模型和美式期权，给出了不同模型假设下的波动率校准方法。 主要研究内容和研究结果可概括如下: 1.第一章首先介绍了期权定价模型中的波动率校准问题及研究现状，然后给出本论文涉及到的一些基本概念和非线性正则化方法的基本知识。 2.第二章主要研究了期权定价的数值方法。反问题的研究中，期权价格的计算是其中必要的关键步骤。这一章主要讨论了期权定价的三种计算方法:Crank-Nicolson有限差分方法、傅立叶变换方法和蒙特卡洛方法。特别地，对蒙特卡洛方法进行了研究，建立了性质更好的随机数发生器，在数学基础上改进了蒙特卡洛方法。然后采用不同的方法模拟了欧式期权和美式期权的价格。 3.在第三章中提出了一个欧式期权隐含波动率校准问题的正则化算法。首先给出反问题的一般描述，通过推导Dupire公式说明了校准问题的不适定性。然后受Tikhonov正则化方法的启发，对于校准问题的目标函数，选取适当的参数空间、定义相应的范数和选取适当的正则化函数，将不适定的校准问题转为正则化的最小二乘问题。在数值实现中，根据偏差原理给出确定正则参数方法，利用状态变量计算期权价格函数关于波动率的偏导数。根据提出的数值算法分别校准欧式FTSE期权和DAX期权，数值试验结果说明了算法的有效性和稳定性。最后比较了几种校准欧式期权波动率的方法，分析了不同方法的优劣。 4.对于跳跃扩散模型波动率问题，第四章提出了一个基于相对熵函数的改进正则化算法。跳跃扩散过程是具有有限跳跃的列维过程，首先将波动率校准问题转化为列维测度校准问题，然后证明了离散化正则问题的适定性。数值实现时，利用拟最优准则确定数据误差未知情况下的正则参数。为了提高计算效率，利用FFT同时计算跳跃扩散模型的价格和校准函数关于列维测度的梯度。对于无约束优化问题，给出高斯牛顿迭代算法并证明了算法的收敛性。最后，对模拟数据和真实数据分别进行了数值试验，并对结果进行了比较和分析。 5.第五章讨论了一类比较简单的美式期权波动率校准问题，提出了相应的数值计算方法。美式期权的特点是可在到期日前任何时刻被执行。首先将美式期权波动率校准问题转化为离散化的最小二乘问题，选取恰当的正则化函数。在对其惩罚问题的研究后，将惩罚问题的解的极限作为校准问题的解，证明了相关结论。然后提出了一个稳定的美式期权波动率校准问题的算法。最后，数值试验说明了算法的可行性。