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周期结构中共振产生的强烈反射和禁带结构能够显著改变材料的色散特性并控制结构内波的传播，由此构成的人工材料如光子晶体等具有独特的性能和潜在的巨大应用前景，已成为近年来科学研究的新热点。由于研究中多仅考虑周期结构内单一的平面波模式，常常将周期变化的边界简单等效为媒质特性变化，因此忽略了边界变化带来的模式耦合作用。本论文以一维周期水槽为例，从理论和实验两方面研究了不同模式间的耦合共振行为对谱带结构的影响。 本文研究发现，水槽内平面波模式和非传播模式间的耦合可以显著改变禁带的位置和宽度，而平面波模式和其它传播模式的耦合则会产生异于布拉格共振的非布拉格共振，在布里渊区内生成禁带，禁带内群速度可以和相速度反向，因此提供了一种新的负群速产生机制。水槽实验表明，非布拉格禁带宽度随边界条件的对称性可调，完全对称时非布拉格禁带退化消失。进一步的，当水槽内存在非平面波的其他传播模式时，平面波和局域亥姆霍兹共振模式间的耦合作用也将可通过周期结构的几何参数加以调节。局域亥姆霍兹共振模式与两种不同传播模式的耦合使得其对平面波传播的抑制作用在一窄带内可因干涉相消而得到极大降低形成通带。随着水槽几何参数的变化，亥姆霍兹共振频率处又可由通带逐渐转变为完全禁带。 首先，在仅存在平面波一种传播模式的底面起伏水槽中，本文分析了非传播模式对谱带结构的影响。计算表明，当前广为使用的等效媒质法无论是在底面跃变处的衔接条件，还是最终的传输矩阵中，都仅考虑传播模式的作用，其结果只适用于浅水长波情况。随着底面起伏程度的增大，现有等效媒质法不但在计算禁带特性时存在巨大误差，而且将违反能量守恒定律和物理对称性条件。为了有效解决这个问题，本文结合水波研究中的经典方法，在考虑非传播模式的基础上，改进了已有的等效媒质法，不但保留了其计算简单性的优点，还使其满足能量守恒和物理的对称性条件，并可通过调节其包含的非传播模式数得到更精确的结果，在计算量和精确性上取得平衡。同时通过将平面波展开法不经等效媒质变换而直接应用于周期性的底面边界条件，使其能够包含不同周期底面起伏之间非传播模式的耦合作用。本文的数值计算表明，这种在当前周期底面水波问题研究中常常被忽视的耦合作用，对谱带结构的影响在特定参数下可以十分显著。 其次，本文研究了侧壁周期起伏水槽中平面波模式和另一种具有不同横向分布的传播模式间的共振现象。与发生在相同模式间的布拉格共振不同，不同模式间的共振可发生在布里渊区内部的任意位置，研究者们称其为非布拉格共振。本文不但摄动分析了非布拉格禁带内部的色散曲线和水槽内的波场演化，证明其透射系数不随入射波中模式成分的不同而变化，还首次在水波实验中观测到了非布拉格反射现象，第一次在实验上证明了非布拉格禁带带宽可随两侧壁面的对称性变化。当两侧壁面起伏反对称时，非布拉格禁带最大而布拉格禁带消失，实验结果和理论高度吻合。进一步的理论分析和计算都表明，非布拉格禁带内色散曲线反向弯折，具有负群速特性。这一特性直接来源于不同传播模式间的群速度差异，因而是其区别于布拉格禁带而独有的特性。由于禁带边沿处传播模式的群速度为零，所以当非布拉格禁带靠近其它禁带或截止频率时，其内部负群速的模值也急剧减小，表现出慢波特性，十分有利于结构尺度的减小。特别的，当两种不同传播模式的布拉格禁带相互靠近时，其禁带内具有不同横向分布的驻波模式间也可发生非布拉格共振，同样可使得禁带内色散曲线弯折，表现出更加奇异的色散特性。数值计算表明，随着侧壁起伏不断增大，参与非布拉格共振的两种传播模式之一可退化为非传播模式，非布拉格共振随之退化为局域共振，禁带内的负群速度频率段退化为色散曲线的负向跳变点，类似于声学中波导管周期旁接亥姆霍兹共鸣器时的亥姆霍兹禁带。只有引入额外耗散效应后，禁带内的负向跳变点再次展宽为一小段具有负群速特性的频率段，类似于由周期排列的局域共振结构组成的元材料中的负群速现象。整个变化过程揭示了非布拉格禁带和元材料中负群速度现象的异同，对于研究此类负群速现象的物理本质具有指导意义。 第三，本文理论研究了侧壁周期旁接的亥姆霍兹港湾共振结构与水槽内不同传播模式间的共振现象。通过将旁接共振结构在喉管处等效为一段具有特定阻抗的水槽边界，首先发展了可计算多个传播模式作用的传输矩阵法，并在窄槽仅有平面波一种传播模式时与传输线等效法得到的经典结果比较，两种方法在不同情况下得到的结果均高度一致，验证了传输矩阵法的可靠性。我们利用该方法计算了不同参数水槽的谱带结构，发现与窄槽时亥姆霍兹共振反射平面波形成禁带不同，宽槽时，随水槽周期不同，亥姆霍兹港湾共振结构可将入射波中的不同传播模式耦合形成通带，也可将不同传播模式耦合形成完全禁带。而且当亥姆霍兹共振频率靠近非平面波传播模式的截止频率时，其对谱带结构的影响显著增大，即使在远离共振频率的弱共振情况下，也可造成色散曲线的明显分裂。为在实验室水槽中实验观测亥姆霍兹共振对入射平面波的反射作用，实验室中需要一种结构简单，并且共振幅度较大的小尺度水波亥姆霍兹共振结构以代替亥姆霍兹港湾共振结构。简单的理论分析表明，以封闭管代替港湾共振结构中的狭窄海峡，可以大大增加其共振幅度。文中详细分析了水波共振幅度较大时非线性端口效应对其共振响应的影响，实验结果和理论定性符合。 前面的分析指出，周期结构中边界的变化不能简单的等效为媒质特性的变化。因此本文对禁带附近波包色散的分析直接由水波基本方程出发，不经等效媒质变换，直接通过多尺度摄动法导出了禁带附近的包络演化方程。理论推导表明，即使在底面起伏程度很大的情况下，边界变化造成的反射波和各种非传播模式，也可和入射波耦合在一起共同形成布洛赫波形式的波包载波，以共同的群速度传播。其色散方程和深水时相同，群速度和色散分别为色散曲线的斜率和曲率。当三阶非线性效应和色散平衡时，可形成类似深水波包孤子的NLS孤子。在禁带边沿处群速度为零，形成驻波包络孤子，深水条件下该驻波孤子的特性和Ruban数值计算中得到的水波带隙孤子吻合。结果表明与光子晶体这类媒质周期变化产生的禁带中存在带隙孤子类似，底面边界起伏产生的禁带旁同样可形成驻波孤子，边界变化造成的不同模式间的耦合不会带来额外的色散作用。因此不需区分产生禁带的实际物理原因是媒质特性的变化还是边界条件的变化，而仅由线性波的色散曲线出发，就可得到周期水槽结构中水波包络演化的非线性方程。这一结论在基础研究及实际应用两方面均具有重要意义。 本文工作的主要创新点在于: 1.将水波问题中近年来广泛使用的等效媒质法和经典结果进行了详细比较，证明等效媒质法中忽略的非传播模式将带来可观的物理效应。因此提出了改进的等效媒质法，并将其扩展以包含非传播模式间的耦合效应。该方法不仅可指导对周期起伏底面上水波谱带结构特性的理论研究，亦明确揭示了边界变化和媒质特性变化的不同，因而对波动问题具有一般性的意义。 2.首次在实验上观测了水波的非布拉格共振，并实验证明非布拉格禁带宽度随边界对称性可调。深入研究了非布拉格禁带内部的色散曲线，首先指出非布拉格共振可导致负群速现象，建立了一种生成材料负群速特性的新机制。基于禁带间相互作用，分析表明可根据需要设计负群速的大小，该部分开创性工作对于相关研究领域具有基础性的指导意义。 3.提出可计算多种传播模式和局域共振模式耦合的传输矩阵法，并首次利用该方法计算了截止频率以上时周期排列亥姆霍兹共振结构的新特性。共振结构对入射平面波的反射特性随周期可调，可在通带和完全禁带间交替变化。此外，该传输矩阵法可计算由多个小尺度共振结构共同构成较长等效边界后的超周期结构的谱带结构，有着广泛的科研价值和工程应用前景。 总之，本论文工作涉及周期结构的谱带算法，非布拉格共振产生负群速特性的新机制分析，以及局域亥姆霍兹共振在不同传播模式间的耦合，在各个方面都取得了有特色的研究成果。